Методы приближенного решения краевых задач для оду (методы Галеркина и коллокаций)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК

КУРСОВАЯ РАБОТА
МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОДУ (МЕТОДЫ ГАЛЕРКИНА И КОЛЛОКАЦИЙ)

* Оглавление
Введение1
Понятие краевой задачи4
Обзор методовприближенного решения краевых задач6
Глава 1. Метод Коллокаций12
1.1. Суть метода12
1.2. Примеры13
Глава 2. Метод Галеркина14
1.1. Суть метода14
1.2. Примеры18
1.3. Применение21
Заключение22
Список используемой литературы23

*

Введение
Методы Галеркина и коллокаций в настоящее время являются одними из самых универсальных вычислительных методов и широко применяются при решении многочисленныхзадач механики конструкций, динамики сооружений, гидромеханики, теории гидродинамических течений и турбулентности, магнитной гидродинамики, теории распространения волн, теории переноса нейтронов, глобального прогноза погоды и т.д. С помощью методов Галеркина и коллокаций возможно проведение исследований обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных и интегральных уравнений.Стационарные и нестационарные уравнения, а также задачи на собственные значения оказываются в равной степени поддающимися решению этими методами. По существу, любая задача, для которой можно выписать определяющее уравнение, может быть решена ими.
Важным достоинством методов Галеркина и коллокаций является то, что они обеспечивают, во-первых, достаточную точность при минимуме вычислений принедостатке вычислительных ресурсов, и, во-вторых, повышенную точность при одновременном выполнении условия минимума машинного времени при выполнении расчета.

Цель работы: ознакомиться с методами решения линейных и нелинейных краевых задач, а именно с методом Галеркина и методом коллокаций.
Задачи:
* изучить понятие краевой задачи;
* сделать обзор известных методов приближенного решения краевой задачидля обыкновенных дифференциальных уравнений;
* подробно рассмотреть метод коллокаций и метод Галеркина и привести примеры

Понятие краевой задачи
Краевые задачи -  задачи, в которых из некоторого класса функций, определённых в данной области, требуется найти ту, которая удовлетворяет на границе этой области заданным условиям. Функции, описывающие конкретные явления природы(физические, химические и др.), как правило, представляют собой решения уравнений математической физики, выведенных из общих законов, которым подчиняются эти явления. Когда рассматриваемые уравнения допускают целые семейства решений, дополнительно задают так называемые краевые или начальные условия, позволяющие однозначно выделить интересующее нас решение. В то время, как краевые условия задаются исключительно на граничных точках области,где ищется решение, начальные условия могут оказаться заданными на определённом множестве точек внутри области.
Задача вида
,                 (1)
,                      (2)
где  - известные непрерывные на интервале  функции,  - заданные числа, называется краевой задачей для функции y.
Если , то краевые условия (2) называются однородными.
Например, в случае уравнений с постояннымикоэффициентами, чтобы решить краевую задачу (1), (2) надо найти общее решение уравнения (1) и подобрать значения произвольных постоянных, входящих в формулу общего решения, так, чтобы удовлетворялись краевые условия (2). В отличии от задачи Коши краевая задача не всегда разрешима, а если разрешима, то не обязательно единственным образом.
Функция , где , как функция переменной x, удовлетворяющая следующим условиям:1)  - непрерывная функция;
2) при  она является решением дифференциального уравнения
,              (3)
а также удовлетворяет однородным краевым условиям (2);
3) при   функция  непрерывна по x, а ее производная по x терпит разрыв первого рода со скачком, равным , т.е.
;            (4)
называется функцией Грина краевой задачи (1), (2)...