Множества и матрицы

  • 19 янв. 2013 г.
  • 1532 Слова
Множества:операции, отношения и их свойства. Прямое произведение множеств.
Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.
Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.
Еслиэлемент x принадлежит множеству X, то записывают x ∈ Х (∈ — принадлежит).
Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ — содержится).
Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.
Например, перечислением заданы следующие множества:
* А={1,2,3,5,7} — множество чисел
* Х={x1,x2,...,xn} — множество некоторых элементов x1,x2,...,xn
*N={1,2,...,n} — множество натуральных чисел
* Z={0,±1,±2,...,±n} — множество целых чисел
Множество (-∞;+∞) называется числовой прямой, а любое число — точкой этой прямой. Пусть a — произвольная точка числовой прямой иδ — положительное число. Интервал (a-δ; a+δ) называется δ-окрестностью точки а.
Множество Х ограничено сверху (снизу), если существует такое число c, что для любого x ∈ Xвыполняется неравенство x≤с (x≥c). Число с в этом случае называется верхней(нижней) гранью множества Х. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным. Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней множества называется точной верхней (нижней) гранью этого множества.
Основные числовые множества
N | {1,2,3,...,n} Множество всех натуральных чисел |
Z | {0, ±1, ±2, ±3,...} Множество целыхчисел. Множество целых чисел включает в себя множество натуральных. |
Q | Множество рациональных чисел.Кроме целых чисел имеются ещё и дроби. Дробь — это выражение вида , где p — целое число, q — натуральное. Десятичные дроби также можно записать в виде . Например: 0,25 = 25/100 = 1/4. Целые числа также можно записать в виде . Например, в виде дроби со знаменателем "один": 2 = 2/1.Таким образом любоерациональное число можно записать десятичной дробью — конечно или бесконечной периодической. |
R | Множество всех вещественных чисел.Иррациональные числа — это бесконечные непериодические дроби. К ним относятся: * число  — отношение длины окружности к её диаметру; * число  — названное в честь Эйлера и др.;Вместе два множества (рациональных и иррациональных чисел) — образуют множестводействительных (или вещественных) чисел. |

Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым множеством и записывается Ø.
-------------------------------------------------
Операции над множествами
Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.
Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}
Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}
Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которогопринадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}
Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}

-------------------------------------------------
Свойстваопераций над множествами
Свойства перестановочности
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
Сочетательное свойство
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Декартово или прямое произведение:

Пусть даны два множества А и В. Прямое произведение АхВ множества А и множества В есть такое множество АхВ, элементами которого являются упорядоченные пары (а;в) для...
tracking img