Множество натуральных чисел

  • 12 сент. 2010 г.
  • 2369 Слова
| |

Множество натуральных чисел

|Выполнил студент |
| |

Санкт-Петербург
2007
Введение

Число - важнейшее понятие математики. Потребовалось несколько тысячелетий, чтобы это понятие приобрело форму, которая в настоящий момент признаетсяудовлетворительной подавляющим большинством математиков. Однако в соответствующих формулировках используется профессиональный язык столь высокого уровня, что попытка передать их точный смысл “простыми и понятными словами», по-видимому, безнадежна. Приходится довольствоваться лишь общими описаниями.
Простейший вид чисел - натуральные числа - исторически возник из потребностей счета: одна лодка, два человека, три дереваи т.д. Лишь на достаточно высоком интеллектуальном уровне было осознано, что у конкретных предметных групп «два камня», «две птицы» и «две руки» есть нечто общее: «два». Абстрактные, отвлеченные числа позволяли сравнивать количество предметов в разнородных совокупностях, что имело важное значение при обменных операциях типа «раковина за орех».
Развитие счета шло параллельно с изменением впсихологическом восприятии понятия «много». Вначале было «один, два, много» или «один, два, три, много», но постепенно граница отодвигалась, формировался натуральный ряд чисел: 1, 2, 3, 4 и т.д. Естественный инструмент счета - пальцы на руках - установил первый предел: десять. Принцип группировки по десять позволял охватывать все большие количества объектов, объединяя их в новые единицы счета: десятьдесятков - сотня, десять сотен - тысяча, дальше десяти тысяч обыденный разум не заглядывал. Так сформировалась десятичная система счисления. Она позволяла с помощью небольшого количества слов называть все встречающиеся числа: например, триста шестьдесят пять - это три сотни и шесть десятков и пять единиц. Не у всех народов десяток стал основным числом счета: одни осознали в качестве первой границыпять (пальцы одной руки), другие - двадцать (все пальцы на руках и на ногах), в Вавилоне употреблялась система с загадочным основанием шестьдесят, в согласии с ней мы до сих пор делим окружность на триста шестьдесят градусов и измеряем время: в часе - шестьдесят минут, в минуте - шестьдесят секунд. Но в конце концов десятичный принцип стал общепризнанным.
С появлением письменности возниклапроблема записи чисел. Древние греки и евреи применяли алфавитную систему нумерации: числа от единицы до девяти, а затем все десятки и сотни обозначались буквами в порядке алфавита, над которыми ставилась черта. Создатели славянского письма перенесли этот прием на новую почву: знаки кириллицы, соответствовавшие греческим буквам, получили те же числовые значения (но алфавитный порядок при этом нарушился),сверху ставилось титло. Таким образом, приходилось запоминать 27 числовых знаков - цифр.
В Западной Европе вплоть до XVIII века в официальных документах применялась римская буквенная нумерация. Она использовала всего семь цифр: I - 1, V - 5, X - 10, L - 50, C - 100, D - 500, M - 1000. Число также записывалось в виде последовательности цифр, но из эстетических соображений запрещалосьчетырехкратное повторение одной и той же цифры. Так что числа 4, 9, 40, 90, 400, 900 обозначались соответственно как IV, IX, XL, XC, CD, CM,- меньшая по значению цифра оказывалась левее большей (но часовщики упорно писали на циферблатах IIII, чтобы не путать с шестеркой VI). Римские цифры используются до сих пор в обозначениях дат и в порядковых номерах.
В процессе счета возникли и основные арифметические действиянад числами - сложение и умножение, были осознаны основные законы, которым они подчиняются.
Для сложения имеют место
1) закон ассоциативности (или сочетательности):
(a+b)+c=a+(b+c);
2) закон коммутативности (или перестановочности):
a+b=b+a
Эти законы выражают тот очевидный факт, что если мы имеем несколько групп предметов, то для...
tracking img