Начертательная геометрия. лекции

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
лекции, домашние задания (данные, образцы)

Электронные ресурсы в Интернете: vm.msun.ru в Интранете: vm

1

Болотов В.П. Начертательная геометрия: Краткий конспект лекций, домашние задания (данные, образцы). МГУ, Владивосток. 2012, 36 с. Лекция 6 по многогранникам прорабатывается по Интернету самостоятельно. Тестирование по НГ и ИГ, образцы выполнения многих упражнений иэпюров по вариантам даны в Интернете
http://vm.msun.ru

2

Лекция 1. МЕТОД ПРОЕКЦИЙ Начертательная геометрия занимается изучением способов изображения предметов на плоскость и решением геометрических задач по заданным изображениям. В основе построения изображений лежит метод проекций: отображение геометрической фигуры на плоскость путем проецирования ее точек. 1.1. Центральное и параллельноепроецирование Проецированием называется процесс построения изображений с помощью проецирующих прямых. Проекцией т. А называют т. А′ пересечения проецирующей прямой с плоскостью изображения (рис. 1.1 а). Если все проецирующие прямые проходят через одну т. S (центр проекций) пространства (рис. 1.1 б), то проецирование называется центральным; если проецирующие прямые параллельны (рис. 1.1 в), топроецирование называется параллельным. В зависимости от направления проецирующих прямых по отношению к плоскости проекций, параллельные проекции делятся на прямоугольные — проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций (рис. 1.2 а) — и косоугольные — проецирующие лучи наклонны к плоскости проекций (рис. 1.2 б).

Ри с. 1.1

Рис. 1.2

1.2. Основные свойства параллельного проецирования Геометрические фигурыпроецируются на плоскость в общем случае
3

с искажением. Однако некоторые свойства оригинала сохраняются и на его проекции. Такие свойства называются инвариантными (независимыми) и приведены в табл. 1.1. Для ортогонального проецирования добавляются некоторые новые свойства, например, теорема о проецировании прямого угла: Прямой угол проецируется в натуральную величину, если одна из сторон параллельна плоскостипроекций, а вторая не перпендикулярна к этой плоскости (рис. 1.3) Рассмотренные способы проецирования и их свойства реРис. 1.3 шают задачу определения проекции оригинала, но не дают возможности воспроизвести его по одной проекции. Для того чтобы получить чертеж, обладающий свойствами обратимости, необходимо иметь, по крайней мере две связанные между собой проекции. Обратимостью обладаетортогональный чертеж: геометрическая фигура, отображенная прямоугольным ортогональным проецированием на взаимно-перпендикулярные плоскости и совмещенная затем с плоскостью чертежа. Такие проекции называются ортогональными, а метод их получения — методом ортогональных проекций (рис. 1.4). 1.3. Пространственная модель (макет) трехмерного пространства Для фиксирования положения геометрической фигуры в пространстве ивыявления ее формы по ортогональным проекциям используется прямоугольная (декартова) система координат, состоящая из трех взаимноперпендикулярных плоскостей (рис. 1.5). Координатные плоскости делят пространство на восемь частей — октантов. Плоскости Н, V, W называются горизонтальной, фронтальной и профильной плоскостями проекций. Ось x — ось абсцисс, y — ось ординат, z — ось аппликат, т.O — началокоординат. Положение т. А определяется тремя координатами: x, y, z (ширина, глубина и высота). Точки А′, А′′, А′′′ — горизонтальная, фронтальная, профильная — ортогональные проекции точки. Прямые АА′, АА′′, АА′′′— проецирующие прямые (лучи), они ⊥ соответственно плоскостям проекций.

4

Таблица 1.1

Основные свойства параллельного проецирования
Назв. и определение Графич. изображение Алгоритм
α A Ρs

1.Свойство однозначности. Проекция точки — есть точка 2. Свойство прямолинейности. Проекция прямой на плоскость есть прямая 3. Свойство принадлежности. Если точка принадлежит прямой, то проекция этой точки принадлежит проекции прямой 4. Свойство параллельности. Проекции взаимно-параллельных прямых также параллельны 5. Свойство пропорциональности. Отношение...