Не знаю

ЛЕКЦИЯ XI

ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ.
I. ТЕОРЕМА РОЛЛЯ.
Если функция [pic] непрерывна на отрезке [pic], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезкаи на концах [pic]принимает равные значения, т.е. [pic], то [pic]- ет внутри отрезка [pic], по крайней мере одна точка [pic], в которой производная функции [pic] обращается в нуль, т.е. [pic].Теорема Ролля имеет простое геометрическое истолкование: если выполняются все условия теоремы, то на этой кривой, найдется, по крайней мере, одна точка с абсциссой [pic], в которой касательнаяпараллельна оси ОХ.

[pic]
[pic]
В точках сабсциссами [pic] и [pic]
касательные к данной кривой параллельны оси ОХ.


П р и м е р ы
1. Можно ли к функции [pic] на отрезке [pic] применитьтеорему Ролля ?
Р е ш е н и е
Функция [pic] непрерывна на [pic] и дифференцируема, на (1;3). Кроме того:
[pic]
[pic] т.е. [pic].То есть выполняются все условия теоремы Ролля [pic] к этой функции можно применить эту теорему
[pic]
[pic] и [pic]
2. Можно ли к функции [pic] наотрезке [pic] применить теорему Ролля ?
[pic]
Значит условие [pic] выполняется. Данная функция непрерывна на
[pic]. Однако производная [pic] в точке [pic] не существует, [pic] функция недифференцируема на (-1;1).
И так, одно из условий теоремы не выполняется, а значит, к функции [pic] на [pic] нельзя применить теорему Ролля.

II. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА.
Если функция [pic] непрерывна наотрезке [pic] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отреза, то внутри отрезка [pic] найдется , по крайней мере одна точка [pic], в которой выполняется...