Обратное преобразование Фурье

  • 28 сент. 2011 г.
  • 814 Слова
Изм.
Лист
№ докум.
Подпись
Дата
Лист
2

Обратное преобразование Фурье.
Колебание s(t) задано в виде некоторой функции, отличной от нуля в промежутке (t1, t2) (рис. 1).
Выделивпроизвольный отрезок времени Т, включающий в себя промежуток (t1, t2), мы можем представить заданное колебание в виде ряда Фурье :
0 < t < T, (1)
где w1 = 2/T, а коэффициентыCn в соответствии с формулой коэффициента:
(2)
Подставив (2) в (1), получим
0 < t < T. (3)
Здесь учтено, что T = 2/w1. Вне отрезка(0, Т) ряд (1) определяет периодическую функцию, полученную повторением s(t) вправо и влево с периодом Т. Для того, чтобы вне отрезка (0, Т) функция равнялась нулю, величина Т должна быть бесконечнобольшой. Но чем больше отрезок Т, выбранный в качестве периода, тем меньше коэффициенты Сn.
0
t 1
t 2

Рис. 1 – Одиночный импульс

Устремляя Т к бесконечности, в пределе получаем бесконечномалые амплитуды гармонических составляющих, сумма которых изображает исходную непериодическую функцию s(t), заданную в интервале t1 < t < t2 (рис.1). Число гармонических составляющих, входящих в рядФурье, будет при этом бесконечно большим, т.к. при Т основная частота функции w1 = 2/T 0. Иными словами, расстояние между спектральными линиями, равное основной частоте w1, становится бесконечномалым, а спектр – сплошным.
Изм.
Лист
№ докум.
Подпись
Дата
Лист
3

Поэтому можно в выражении (3) заменить w1 на dw, nw1 на текущую частоту w, а операцию суммирования – операциейинтегрирования. Таким образом, приходим к двойному интегралу Фурье:
(4)
Внутренний интеграл, являющийся функцией частоты w, называется спектральной плотностью или спектральнойхарактеристикой функции s(t):
(5)
В общем случае, когда пределы t1 и t2 не уточнены, спектральная плотность записывается в форме:...
tracking img