Операции над многочленами

  • 11 нояб. 2013 г.
  • 5412 Слова
Понятие многочлена.
Теория определителей и теория систем линейных уравнений, возникло в качестве непосредственного развития того направления в школьном курсе алгебры, которое, начинаясь от одного уравнения первой степени одним неизвестным, вело к системам двух и трех уравнений первой степени с двумя и, соответственно, тремя неизвестными. Другое направление в элементарной алгебре,воспринимавшееся там как еще более значительное, состояло в переходе от уравнения первой степени с одним неизвестным к произвольному квадратному уравнению снова с одним неизвестным, а затем и к некоторым частным типам уравнений третьей и четвертой степени. Это направление вырастает в весьма большой и содержательный раздел высшей алгебры, посвященный изучению произвольных уравнений любой n-й степени с однимнеизвестным. К этому разделу алгебры, исторически самому раннему, относятся как настоящая глава, так и некоторые из дальнейших глав книги.
Общий вид уравнения n-й степени (где n — некоторое целое положительное число) есть
[pic] (1)
Коэффициенты а0, а1, ..., аn-1, аn этого уравнения мы будем считать произвольными комплексными числами, причем старший коэффициент а0 долженбыть отличным от нуля.
Если написано уравнение (1), то всегда предполагается, что требуется его решить. Иными словами, требуется найти такие числовые значения для неизвестного х, которые удовлетворяют этому уравнению, т. е. после подстановки вместо неизвестного и выполнения всех указанных операций обращают левую часть уравнения (1) в нуль.
Целесообразно, однако, заменить задачу решенияуравнения (1) более общей задачей изучения левой части этого уравнения
[pic] (2)
называемой многочленом (или полиномом) n-й степени от неизвестного х. Мы выбираем первый из этих терминов; следует твердо помнить, что теперь многочленом называется лишь выражение вида(2), т. е. лишь сумма целых неотрицательных степеней неизвестного х, взятых с некоторыми числовыми коэффициентами, а нелюбая сумма одночленов, как это было в элементарной алгебре. В частности, мы не будем считать многочленами такие выражения, которые содержат неизвестное х с отрицательными или дробными показателями, например, [pic] или [pic], или же [pic]. Для сокращенной записи многочленов будут употребляться символы f(x), g(x), ((x) и т. д.
Два многочлена f(x) и g(x) будут считаться равными (илитождественно равными), f(x)=g(x), в том случае, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного. В частности, никакой многочлен, хотя бы один коэффициент которого отличен от нуля, не может быть равным нулю, и поэтому знак равенства, употребляемый в записи уравнения n-й степени (1), не имеет никакого отношения к определенному сейчас равенству многочленов. Знак =, связывающий многочлены, следует вдальнейшем всегда понимать в смысле тождественного равенства этих многочленов. Таким образом, на многочлен n-й степени (2) следует смотреть как на некоторое формальное выражение, вполне определяемое набором своих коэффициентов a0, a1, …, an, где a0(0. Заметим, что, помимо записи многочлена в виде (2), т. е. по убывающим степеням неизвестного x, будут допускаться и другие его записи, получающиеся из(2) перестановкой слагаемых, например, запись, по возрастающим степеням неизвестного.
Конечно, на многочлен (2) можно было бы смотреть и с точки зрения математического анализа, т.е. считать его комплексной функцией комплексного переменного х. Следует учесть, однако, что две функции считаются равными в том случае, если равны их значения при всех значениях переменного x. Ясно, что двамногочлена, равные в указанном выше формально-алгебраическом смысле, будут равны и как функции от х. После этого алгебраическая и теоретико-функциональная точки зрения на понятие многочлена с числовыми коэффициентами на самом деле станут равносильными, пока же мы должны каждый раз указывать, какой именно смысл придается понятию многочлена.
Существуют, понятно,...
tracking img