Оптика конических сечений

  • 02 апр. 2012 г.
  • 754 Слова
отношение расстояния от произвольной точки сечения до неподвижной точки F1 к расстоянию до неподвижной прямой d1 постоянно.
Плоскость эллиптического сечения и плоскость, касающаяся цилиндра,пересекаются по прямой Т1Т2, касающейся эллипса (рис. 11). Обе плоскости касаются «верхней» сферы в точках F1 и N1, поэтому согласно теореме (б) /F1MT1=/T1MN1 (1)Эти же плоскости касаются «нижней» сферы в точках F2 и N2. Значит, снова по теореме (б) /F2MT2=/T2MN2. (2) Но углы в правых частях (1) и (2) равны как вертикальные. Следовательно, равны углы и в левых частях: / F1MT1 =/F2MT2, т. е. в произвольной точке М сечения отрезки F1M и F2M образуют равные углы с касательной.
Исследуя в дальнейшем конические сечения, мы часто будем пользоваться теми же идеями, какимитолько что пользовались применительно к предельному случаю конуса — цилиндру.
Теорема. Сечением любого прямого круглого конуса плоскостью (не проходящей через его вершину) определяется кривая, котораяможет быть лишь эллипсом (рис. 2), параболой (рис. 3) или гиперболой (рис. 4). При этом, если плоскость пересекает только одну плоскость конуса и по замкнутой кривой, то эта кривая есть эллипс; еслиплоскость пересекает только одну плоскость по незамкнутой кривой, то эта кривая – парабола; если секущая плоскость пересекает обе плоскости конуса, то в сечении образуется гипербола.
Изящное доказательство этойтеоремы было предложено в 1822 году бельгийским инженером Данделеном, использовавшим сферы, которые принято теперь называть сферами Данделена.
Рассмотрим это доказательство применительно к эллипсу(случай с гиперболой и параболой доказывается аналогично).
Впишем в конус две сферы, касающиеся плоскости сечения П с разных сторон (рис. 12). Обозначим через F1 и...
tracking img