Основные понятия математического моделирования

1. Понятие математической модели
Пусть существует некий объект «А», обладающий некоторой совокупностью свойств «S». Для исследования данного объекта необходимо построить «математический объект» А’ – систему уравнений, или арифметических соотношений, или геометрических фигур или их комбинацию – исследование которого и должно ответить на поставленные вопросы о свойствах S [1]. Математическуюмодель можно описать иначе. Математической моделью называется совокупность математических соотношений, уравнений, неравенств и т.п., описывающих основные закономерности, присущие изучаемому процессу, объекту или системе [2]. Из теории автоматом на основе идеализирование представления «вход-выход-состояние» можно определить математическую модель как Абстрактное математическое представлениепроцесса, устройства или теоретической идеи; оно использует набор переменных, чтобы представлять входы, выходы и внутренние состояния, а также множества уравнений и неравенств для описания их взаимодействия.
2. Цели моделирования
Целями моделирования являются:
1. Понимание того, как устроен объект, каковы его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающей средой. Такие модели помогают понять,как устроен конкретный объект, узнать его основные свойства, установить законы его развития и взаимодействия с окружающим миром. В этом случае целью построения модели является познание окружающего мира.
2. Управление объектом или процессом и определение наилучших способов управления при заданных целях.
3. Создание объектов с заданными свойствами
4. Прогнозирование последствийвоздействия на объект

3. Общая схема применения математики
Математика применяется не к реальному объекту, а к его математической модели. Общая схема применения математики представлена на рис. 1.
Реальный объект
Содержательная модель
Математическая модель
Построение модели
Истолкование результата
Реальный объект
Содержательная модель
Математическая модель
Построение модели
Истолкование результатаРис. 1. Общая схема применения математики
На первом этапе формулируются интересующие свойства предмета, т.е. строится содержательная модель объекта, основанная на законах или иных утверждениях, принятых в контексте науки, изучающей данный объект, а также гипотезах. При построении модели не учитываются не интересующие нас особенности объекта. На основе содержательной модели выписываютсясоответствующие уравнения, и происходит переход к математической модели объекта.
Второй этап заключается в изучении полученной математической модели, в решении полученной математической задачи с помощью различных методов.
Получив решение, необходимо проанализировать полученные результаты. В этом заключается 3 этап – этап интерпретации результата исследования математической модели.
4. Требования,предъявляемые к математическим моделям.
Одним из важнейших требований к математическим моделям является требование адекватности (правильного соответствия) изучаемому реальному объекту а относительно выбранной системы S его свойств. Под этим, прежде всего, понимается правильное качественное описание рассматриваемых свойств объекта и правильное количественное описание этих свойств с некоторой разумной точностью.Необходимо помнить, что всякая адекватность математической модели реальному объекту лишь относительна и имеет свои рамки применимости.
Следующее важнейшее требование заключается в достаточной простоте модели, а именно – модель является достаточно простой, если имеющиеся в нашем распоряжении средства исследования дают возможность провести в приемлемые сроки и экономно по затратам труда и средств, но с разумнойточностью качественный или количественный анализ исследуемых свойств и осмыслить результат.
Требования полноты и просты, в каком-то смысле, являются противоположными требованиями. Как правило, чем модель более адекватна, тем она менее проста и тем труднее ее анализ. Поэтому приходится упрощать первоначальную модель, те переходить...