Основы теории вероятности и математическая статистика

  • 25 янв. 2013 г.
  • 1563 Слова
Задача 1. Тема: «Нормальное распределение»
Процент протеина в пакете с сухим кормом для собак нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 11.2% и стандартным отклонением 0.6%. Производителям корма необходимо, чтобы в 99% продаваемого корма доля протеина составляла не меньше x %, но не более y %. Найдите x и y.

Решение. Применяем формулу:
[pic]
Найдемнеизвестную величину [pic], подставляя [pic]. Получаем:
[pic]

Тогда
[pic],
[pic]

Ответ: от 9,652% до 12,748%.




Задача 2. Тема: «Критические точки» (работа с таблицами)

По заданной вероятности (и заданному числу степеней свободы k) найти критическую точку (квантиль [pic]), пользуясь соответствующими таблицами (приложение 1–4):
а) стандартного нормального распределения;
б) распределения «хи-квадрат»;
в)распределения Стьюдента;
г) распределения Фишера.
Нарисовать примерный вид графика плотности распределения, указать критическую точку, заштриховать площадь, соответствующую вероятности [pic], записать пояснения к рисунку.
Вариант 6:
а) γ = 0.94;
б) γ = 0.99, k = 16;
в) γ = 0.975, k = 21;
г) γ = 0.99, [pic].

Решение. По заданной вероятности (и заданному числу степеней свободы k) найдем критическую точку(квантиль [pic]), пользуясь соответствующими таблицами (приложение 1–4):


а) стандартного нормального распределения; γ=0.94; получаем критическую точку [pic].

[pic]

б) распределения «хи-квадрат»; γ = 0.99, k = 16; критическая точка 32.


[pic]


в) распределения Стьюдента; γ = 0.975, k = 21; критическая точка 2,41 (двусторонняя область) или 2,08 (односторонняя область).

[pic]

г) распределения Фишера. γ =0.99, [pic]. Критическая точка 5,74.


[pic]

Выше нарисован примерный вид графика плотности распределения, указана критическая точка, через нее проведена вертикальная прямая, которая ограничивает закрашенную площадь заданной величины [pic]. Заштрихованная площадь, , соответствующая вероятности [pic], изображена белым цветом справа от черты (фигуры очень маленькие и штриховка не будет видна).Задача 3. Тема: «Интервальные оценки»
Менеджер компании, занимающейся прокатом автомобилей, хочет оценить среднюю величину пробега одного автомобиля в течение месяца. Из 280 автомобилей, принадлежащих компании, методом случайной бесповторной выборки отобрано 30. По данным этой выборки установлено, что средний пробег автомобиля в течение месяца составляет 1342 км со стандартным отклонением 227 км.Считая пробег автомобиля случайной величиной, распределенной по нормальному закону, найдите 95%-ый доверительный интервал, оценивающий средний пробег автомобилей всего парка в течение месяца.

Решение. Найдем границы, в которых с вероятностью 0,95 находится генеральное среднее (средний пробег одного автомобиля в парке). Используем формулу:
[pic], где [pic] - предельная ошибка выборки, [pic]. Здесьдоверительный коэффициент [pic] определяется по значению вероятности, [pic].
Подставляем и получаем: [pic].
Тогда нужный интервал:
[pic],

Тогда 95%-ый доверительный интервал, оценивающий средний пробег автомобилей всего парка в течение месяца, имеет вид:
[pic]

Ответ: [pic] (км).



Задача 4. Тема: «Проверка статистических гипотез»

В 1996 г. годовой оборот четырех бирж в регионе А составил 12·104 у.е.; врегионе В годовой оборот пяти бирж — 125·103 у.е. Исправленная выборочная дисперсия оборота в регионе А оказалась равной 3·104 (у.е.)2, в регионе В — 2·104 (у.е.)2. Можно ли на уровне значимости α = 0.05 утверждать, что средний оборот бирж в регионе А больше, чем в регионе В?

Решение. Дисперсии различны, поэтому проверим гипотезу о равенстве дисперсий, используя критерий Фишера-Снедекора. Найдемотношение большей дисперсии к меньшей:
[pic].
Дисперсия [pic] примерно равна дисперсии [pic], поэтому в качестве конкурирующей гипотезы примем гипотезу [pic]. По таблице при уровне значимости [pic] и числам степеней свободы [pic] и [pic] найдем критическую точку [pic]. Так как [pic], нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий....