Основы теории вероятности

  • 18 сент. 2011 г.
  • 2468 Слова
Глава 3. Основные формулы теория вероятностей

§ 1. Операции над событиями.

Суммой двух событий А и В называется событие А(В (А+В), заключающееся в том, что произойдет хотя бы одно из событий А или В (либо событие А, либо событие В либо А и В одновременно).

Произведением (или пересечением) двух событий А и В называется событие А(В (АВ), состоящее в одновременном появлении исобытия А и события В.
Вероятность суммы двух событий вычисляется по формуле (теорема сложения)
[pic].
События А1,А2,...,Ак образуют полную группу событий, если в результате испытания непременно произойдет одно из них , т.е. [pic].
События А и В называются несовместными (непересекающимися), если они не могут произойти одновременно А(В=(. Если события несовместны, тоР(АВ) = 0 и Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Задача 1. В ящике 10 красных и 5 синих пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы. Какова вероятность, что пуговицы будут одноцветными?
Решение. Событие A={вынуты пуговицы одного цвета} можно представить в виде суммы [pic], где события [pic] и [pic] означают выборку пуговиц красного и синего цвета соответственно. Вероятность вытащить две красныепуговицы равна[pic], а вероятность вытащить две синие пуговицы [pic]. Так как события [pic]и [pic]не могут произойти одновременно, то в силу теоремы сложения
[pic]

§ 2. Условная вероятность и теорема умножения.

Помимо обычной (безусловной) вероятности можно рассматривать так называемую условную вероятность, вычисляемую при условии, что событие B произошло. Такую вероятность (вероятность А приусловии В) обозначают Р(А|В) и вычисляют с помощью одной из двух формул:
[pic]

Из этой формулы вытекает формула для вероятности произведения двух событий (теорема умножения)
[pic].
Формула умножения для трех событий:
[pic].
Задача 2. В семье – двое детей. Какова вероятность, что старший ребенок – мальчик, если известно, что в семье есть дети обоего пола?
Решение. Пусть А={старший ребенок –мальчик}, B={в семье есть дети обоего пола}. Будем считать, что рождения мальчика и рождение девочки – равновероятные события. Если рождение мальчика обозначить буквой М, а рождение девочки – Д, то пространство всех элементарных исходов состоит из четырех пар: [pic]. В этом пространстве лишь два исхода (МД и ДМ) отвечают событию B. Событие AB означает, что в семье есть дети обоего пола и старший ребенок –мальчик, это значит, что второй (младший) ребенок – девочка. Этому событию AB отвечает один исход – МД. Таким образом, |AB|=1, |B|=2 и
[pic]

Задача 3. Мастер, имея 10 деталей, из которых 3 – нестандартных, берет и проверяет детали одну за другой, пока нему не попадется стандартная. Какова вероятность, что он проверит ровно две детали.
Решение. Событие А={мастер проверил ровно две детали} означает,что при такой проверке первая деталь оказалась нестандартной, а вторая – стандартная. Значит, [pic], где [pic]={ первая деталь оказалась нестандартной } и [pic]={вторая деталь – стандартная}. Очевидно, что вероятность [pic]кроме того, [pic](так как перед взятием второй детали у мастера осталось 9 деталей, из которых только 2 нестандартные и 7 стандартных). По теореме умножения
[pic]

§ 3.Независимость событий.

Событие А не зависит от В, если появление события В не меняет значения вероятности события А, т.е. условная вероятность равна безусловной: Р(А/В) = Р(А). Аналогично определяется независимость события B от A. Оказывается, что свойство независимости на самом деле симметрично относительно событий A и B, и потому определение независимости двух событий принимает более простойвид:
два события A и B независимы, если справедливо равенство
Р(АВ) = Р(А) ( Р(В).
Это равенство можно использовать также как удобный критерий независимости при практической проверке независимости двух событий.

Задача 4. В одном ящике 3 белых и 5 черных шаров, в другом ящике – 6 белых и 4 черных шара. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика...
tracking img