Параметр

  • 24 нояб. 2012 г.
  • 1065 Слова
Решение простейших уравнений

Подобные упражнения помогают учащимся привыкнуть к параметру, к необычной форме ответов при решении уравнений. Даже такие элементарные уравнения требуют комментариев и объяснений.
Следующий шаг — решение простейших уравнений с небольшим числом легко угадываемых ветвлений.
1. ax = 10. Ответ:  при a = 0 корней нет.
2. 0∙x = a. Ответ: при a ≠ 0 корней нет; при a = 0 x ∈ R.
3.  при a < 0 корней нет.
Аналитический и графический способы
1. Решите уравнение | x | = a.
Решение.
Способ I (аналитический). 
1. При a > 0 уравнение имеет два корня: x = ±a.
2. При a = 0 уравнение имеет один корень: x = 0.
3. При a < 0 уравнение корней не имеет.
Способ II (графический). 
1. При a > 0 графики пересекаются в двух точках (–a; a) и (a; a), значит,уравнение имеет два решения: x = ±a.

2. При a = 0 точка пересечения графиков одна — начало координат, следовательно, уравнение имеет одно решение: x = 0.
3. При a < 0 графики функций не пересекаются — решений нет.
Ответ: при a < 0 корней нет; при a = 0 один корень: x = 0; при a > 0 два корня: x = ±a.
2. Решите уравнение ax = | x |.
Решение.
Способ I (аналитический). 
1. При x ≥ 0уравнение равносильно уравнению ax = x, или x(a – 1) = 0. Следовательно:
а) при a ≠ 1 уравнение имеет только одно решение: x = 0;
б) при a = 1 уравнение имеет бесконечное множество решений: x ∈ [0; +∞).
2. При x ≤ 0 уравнение равносильно уравнению ax = –x, или x(a + 1) = 0. Следовательно:
а) при a ≠ –1 уравнение имеет одно решение: x = 0;
б) при a = –1 — множество решений, x ∈ (–∞; 0].
Способ II(графический). 
Строим графики функций y = | x | и y = ax. Графиками функций y = ax являются прямые, проходящие через начало координат, угловой коэффициент которых равен 0.

1. При a ≠ ±1 уравнение имеет одно решение x = 0.
2. При a = 1 прямая y = x содержит луч OA, и уравнение имеет бесконечное множество решений x ∈ [0; +∞).
3. При a = –1 прямая y = –x содержит луч OB, и уравнение имеет бесконечноемножество решений x ∈ (–∞; 0].
Ответ: при a = –1 x ∈ (–∞; 0]; при a = 1 x ∈
∈ [0; +∞); при x ≠ ±1 x = 0.
Несложные уравнения с параметром, при решении которых требуется дополнительная проверка, связанная с ограничениями их области определения, составляет следующий шаг в изучении уравнений с параметром.
1. Решите уравнение 
Решение. Очевидно, что x ≠ 2. Умножив обе части уравнения на x – 2 ≠ 0,получим a = x – 2 или x = a + 2. Проверим, нет ли таких значений параметра a, при котором найденное значение x было бы равно числу 2, то есть решим уравнение 2 = a + 2 относительно a. Получим, что при a = 0 x = 2, но число 2 не входит в область определения, следовательно, не может быть его корнем.
Ответ: при a = 0 корней нет; при a ≠ 0 x = a + 2.
2. Решите уравнение 
Решение. x ≠ –1. Приведяуравнение к виду (1 – a)x = a, заметим, что при a = 1 уравнение не имеет корней, а при a ≠ 1 получаем  Решим уравнение относительно a. Так как уравнение не имеет корней, других вариантов не имеется.
Ответ: при при a = 1 корней нет.
3. Решите уравнение 

Решение. x ≠ –3, x ≠ 2, a ≠ –1. При условии, что x ≠ 2, исходное уравнение можно упростить:

После преобразований получаем уравнение 2ax = 1– a, которое при a = 0 не имеет корней, а при a ≠ 0
Проверим, нет ли таких значений параметра a, при которых найденное значение x было бы равно –3 или 2. Для этого решим относительно a уравнения Корень первого уравнения –0,2, корень второго уравнения 0,2, то есть при a = ±0,2 соответствующие значения x не входят в область определения исходного уравнения.
Ответ: при a = –1; 0; ±0,2 корней нет; при a ≠–1; 0; ±0,2 
Решение более сложных уравнений
Решите уравнение | x + 2 | = ax + 1.
Решение аналитическим способом приводит к достаточно длительным рассуждениям, так как имеет много ветвлений. Графический способ более удобен, он короче и красивее.
Решение. Способ I (графический). Построим график функций y = | x + 2 | и y = ax + 1. График первой функции получается сдвигом...