Погрешность интерполяции

5. Погрешность интерполяции.
График интерполяционного многочлена y=Fx проходит через заданные точки, т.е. значения многочлена и данной функции y=f(x) совпадают в узлах x=xi i=0,1,…,n. Если функцияf(x) сама является многочленом степени n, то имеет место тождественное совпадение: fx=Fx. В общем случае в точках, отличных от узлов интерполяции, Rx=fx-Fx≠0.
Эта разность есть погрешностьинтерполяции и называется остаточным членом интерполяционной формулы. Оценим его значение.
Предположим, что заданные числа yi являются значениями некоторой функции y=fx в точках x=xi. Пусть эта функция непрерывна и имеетнепрерывные производные до n+1 порядка включительно. Можно показать, что в этом случае остаточный член многочлена Лагранжа имеет вид RLx=x-x0x-x1…x-xnn+1!fn+1x* 2
Здесь fn+1x* - производная n+1порядка функции fx в некоторой точке x=x*, x*∈x0,xn. Если максимальное значение этой производной равно
maxx0≤x≤xnfn+1x=Mn+1
То можно записать формулу для оценки остаточного члена|RLx|≤x-x0x-x1…x-xnn+1!Mn+1
Остаточный член интерполяционного многочлена Ньютона можно записать в виде:
RNx=tt-1…t-nn+1!fn+1x*hn+1; t=x-x0 h
Существует только один интерполяционный многочлен при заданном наборе узловинтерполяции. Формулы Лагранжа, Ньютона и др. порождают один и тот же многочлен. Разница лишь в алгоритме их построения.
Выбор способа интерполяции определяется различными соображениями: точностью, временемвычислений, погрешностями округлений и др. В некоторых случаях более предпочтительной может оказаться локальная интерполяция, в то время как построение единого многочлена высокой степени (глобальнаяинтерполяция) не приводит к успеху.
Повышение точности интерполяции целесообразно производить за счет уменьшения шага и специального расположения точек xi. Повышение степени интерполяционногомногочлена при локальной интерполяции также уменьшает погрешность, однако здесь не всегда ясно поведение производной fn+1x при увеличении n. Поэтому на практике стараются использовать...