Практикум

  • 02 окт. 2012 г.
  • 2499 Слова
1) Понятие двойного интеграла. Основные свойства двойного интеграла. Геометрический и физический смыслы двойного интеграла
В математическом анализе кратным или многократным интегралом называют множество интегралов, взятых от переменных. Например:

Замечание: кратный интеграл − это определенный интеграл, при его вычислении всегда получается число.
Геометрический смысл двойного интеграла
Пустьфункция принимает в области только положительные значения. Тогда двойной интеграл численно равен объему вертикального цилиндрического тела, построенного на основании и ограниченного сверху соответствующим куском поверхности .
Геометрический и физический смысл двойного интеграла
Рассмотрим две задачи, приводящие к двойному интегралу.
Объем цилиндрического тела
Рассмотрим тело, ограниченное сверхуповерхностью снизу - замкнутой  областью D плоскости Оху, с боков - цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz, а направляющей служит граница области D (см. рис. 5). Такое тело называется цилиндрическим. Найдем его объем V. Для этого разобьем область D (проекция поверхности z=ƒ(х;у) на плоскость Оху) произвольным образом на п областей Di, площади которых равны Рассмотрим цилиндрическиестолбики с основаниями Di, ограниченные сверху кусками поверхности z=ƒ(х;у)  (на рис. 5 один из них выделен). В своей совокупности они составляют тело V. Обозначив объем столбика с основанием Di через ∆Vi, получим
Возьмем на каждой площадке Di произвольную точку  Mi(xi;,yi) и заменим каждый столбик прямым цилиндром с тем же основанием D; и высотой zi=ƒ(хi;уi).
Объем этого цилиндра приближенно равен объему ΔViцилиндрического
столбика, т. е.. Тогда получаем:
 
Это равенство тем точнее, чем больше число n и чем меньше размеры «элементарных областей» Di. Естественно принять предел суммы (7.3) при условии, что число площадок Di неограниченно увеличивается (n -> ∞), а каждая площадка стягивается в точку (maxdi-> 0), за объем V цилиндрического тела, т. е.

или, согласно равенству (7.2),

Итак, величинадвойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела. В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла.
Масса плоской пластинки
Требуется найти массу m плоской пластинки D, зная, что ее поверхностная плотность =(х;у) есть непрерывная функция координат точки (х;у). Разобьем пластинку D на п элементарных частей площади которых обозначим через ∆Si. В каждой областиD; возьмем произвольную точку Мi(хi;уi) и вычислим плотность в ней:
Если области Di достаточно малы, то плотность в каждой точке (х;у) є Di мало отличается от значения (xi;yi). Считая приближенно плотность в каждой точке области Di постоянной, равной (xi;yi), можно найти ее массу Так как масса m всей пластинки D равна то для ее  вычисления имеем приближенное равенство

Точное значение массыполучим как предел суммы (7.5) при условии n ->∞ и max di -> 0:

или, согласно равенству (7.2),

Итак, двойной интеграл от функции (x;у) численно равен массе пластинки, если подынтегральную функцию (х;у) считать плотностью этой пластинки в точке (х;у). В этом состоит физический смысл двойного интеграла.
7.3. Основные свойства двойного интеграла
Можно заметить, что процесс построения интеграла вобласти D дословно повторяет уже знакомую нам процедуру определения интеграла функции одной переменной на отрезке (см. Часть 1, п. 35). Аналогичны и свойства этих интегралов и их доказательства. Поэтому перечислимосновные свойства двойного интеграла, считая подынтегральные функции интегрируемыми.
1.
2.
3. Если область D разбить линией на две област и D1 и D2 такие, чтоа пересечение D1 и D состоит лишь излинии, их разделяющей (см. рис. 6), то

4.Если в области D имеет место неравенство ƒ(х;у) >=0, то и Если в области D функции ƒ(х; у) и (х; у) удовлетворяютнеравенству
5.
6. Если функция ƒ(х; у) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то где m и М - соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области D.
7. Если...