Распределение пуассона

Уральский Государственный Технический Университет - УПИ
Кафедра Анализа Систем и Принятия Решений.

КУРСОВАЯ РАБОТА
на тему:
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА.

по дисциплине:
Теория вероятностей.

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ: ВДОВИН А.Ю.
СТУДЕНТКА: ШИШКИНА М.А.
ГРУППА: И-271

г.Екатеринбург
1998 г.

СОДЕРЖАНИЕ.

1. Введение. 4
2. определение закона пуассона. 5
3. Основные характеристикираспределения Пуассона. 6
4. Дополнительные характеристики распределения пуассона. 8
5. пример условия, при котором возникает распределение пуассона. 9
6. Связь с биномиальным распределением. 12
7. Примеры из практики. 13
8. заключение. 16
9. список литературы. 17

1. Введение.
Теория вероятностей - это математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. На сегодняшний день это полноценная наука,имеющая большое практическое значение.
История теории вероятности восходит к XVII веку, когда были предприняты первые попытки систематического исследования задач, относящихся к массовым случайным явлениям, и появился соответствующий математический аппарат. С тех пор, многие основы были разработаны и углублены до нынешних понятий, были открыты другие важные законы и закономерности. Множествоученых работало и работает над проблемами теории вероятностей.
Среди них нельзя не обратить внимание на труды Пуассона (1781-1840), доказавшего более общую, чем у Якова Бернулли, форму закона больших чисел, а также впервые применившего теорию вероятностей к задачам стрельбы. С именем Пуассона связан один из законов распределения, играющий большую роль в теории вероятностей и ее приложениях.
Именноэтому закону распределения и посвящена данная курсовая работа. Речь пойдет непосредственно о законе, о его математических характеристиках, особых свойствах, связи с биномиальным распределением. Несколько слов будет сказано по поводу практического применения и приведено несколько примеров из практики.
2. определение закона пуассона.
Во многих задачах практики приходится иметь дело со случайнымивеличинами, распределенными по своеобразному закону, который носит название закона Пуассона.
Рассмотрим прерывную случайную величину Х, которая может принимать только целые, неотрицательные значения: 0, 1, 2, … , m, … ; причем последовательность этих значений теоретически не ограничена.
Говорят, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет определенное значение m,выражается формулой:

где а - некоторая положительная величина, называемая параметром закона Пуассона.
Ряд распределения случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, выглядит следующим образом:
хm
0
1
2
…
m
…
Pm
e-a

…

…

На рис. 1 представлены многоугольники распределения случайной величины Х по закону Пуассона, соответствующие различным значениям параметра а.

3.Основные характеристики распределения Пуассона.
Для начала убедимся, что последовательность вероятностей, может представлять собой ряд распределения, т.е. что сумма всех вероятностей Рm равна единице.

Используем разложение функции ех в ряд Маклорена:

Известно, что этот ряд сходится при любом значении х, поэтому, взяв х=а, получим

следовательно

Определим основные характеристики -математическое ожидание и дисперсию - случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
По определению, когда дискретная случайная величина принимает счетное множество значений:

Первый член суммы (соответствующий m=0) равен нулю, следовательно, суммирование можно начинатьс m=1:

Таким образом, параметр а представляет собой не что иное, как математическое ожидание случайной величины Х.
Дисперсией случайной величины Х называют математической ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Однако, удобнее ее вычислять по формуле:

Поэтому найдем сначала второй начальный момент...