Реферат по экономике

РАЗДЕЛ I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

В процессе проектирования конструкций и отдельных их элементов разработчики имеют дело с наборами объ-ектов самой различной физической природы. В теории мно-жеств изучаются количественные и структурные свойства таких наборов объектов.

1. МНОЖЕСТВА, ОПЕРАЦИИ С НИМИ.
АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ

1.1. Элементы и множества

Понятие множества и егоэлемента первичны, поэтому их нельзя строго выразить через понятия, введенные в дру-гих дисциплинах. Словесно множество можно определить как совокупность объектов (элементов), имеющих некото-рые общие свойства. Обычно множества обозначают заглав-ными латинскими буквами (А, В, С), их элементы – пропис-ными без индексов и с индексами.
Объекты, рассматриваемые в качестве элементов, мо-гут иметь самуюразличную природу, быть абстрактными и реальными: числа, геометрические фигуры, предметы окру-жающей среды, люди и т.д. Особую роль в теории множеств играют пустое и универсальное множества.
Определение. Пустым называется множество, не со-держащее объектов. Обозначается оно (.
Определение. Допустим, рассматриваются множест-ва, состоящие из объектов некоторого вида. Универсальным называетсямножество U, содержащее полный набор рас-сматриваемых объектов.
Для конкретного множества А универсальное мно-жество U, как правило, можно принять неединственным образом.
Множества могут быть конечными ( с ограниченным
8
числом элементов) и бесконечными (с неограниченным чис-
лом элементов).
Пример 1. Универсальное множество U = R =(-(, +() – множество всех вещественных чисел. Выделимв нём следующие множества:
1) R+ = (0, +() – множество всех положительных ве-щественных чисел,
2) R - = (-(, 0) – множество всех отрицательных ве-щественных чисел,
3)(R+ = [0, +() – множество всех неотрицательных вещественных чисел,
4)(R - = (-(, 0] – множество всех неположительных ве-щественных чисел.
Все рассмотренные множества бесконечны.
Пример 2. Универсальноемножество U =(R+ – мно-жество всех неотрицательных вещественных чисел. Выде-лим следующие множества:
1) Е2 = {0,1} – множество из двух чисел – 0 и 1,
2) N ={1,2,3,…} – множество натуральных (положи-тельных целых) чисел,
3)(N ={0,1,2,3,…} – расширенное множество натураль-ных чисел,
4) Р ={1,2,3,5,7,11,…} – множество положительных простых чисел (делящихся нацело только на себя ина единицу).
Первое множество конечно – в нём два элемента, остальные бесконечны. В качестве U для 1)-4) можно было бы принять все множество R .
Пример 3. Универсальное множество С = { мно-жество всех окружностей на декартовой плоскости Оху } . На нём можно рассмотреть множества С(а,b) окружностей с общим центром в точке с координатами (х=а,y=b). Каждое из множеств С(а,b) бесконечно,поскольку их элементы однозначно характеризуются радиусами R, а множество {R}
9
=(R+ - бесконечно.
Пример 4. Множество А студентов в некоторой груп-пе. Множество конечно. По отношению к А в качестве уни-версального могут быть приняты следующие более широ-кие множества:
1) U 1 = { множество всех студентов данного факультета},
2) U 2 = { множество всех студентов вуза} и т. д.
Определение.Декартовым произведением множеств А и В называют множество А(В, состоящее из всех возмож-ных пар (а,b), где а(А,b(В. Степенью n множества А назы-вают декартово произведение А(А(…( А, где А входит n раз. Обозначается А n.
Пример 5. А = {0,1}, B={a,b}.
А2 = {(0,0);(0,1);(1,0);(1,1)}; А(В = {(0,a); (0,b); (1,a); (1,b)};
В(А = {(a,0); (a,1);(b,0);(b,1)}; B2= {(a,a); (a,b); (b,a);(b,b)}.
Как видно из Примера 5, декартово произведение не коммутативно (в нём нельзя переставлять местами разли-чающиеся сомножители).
Пример 6. С помощью степеней множества всех ве-щественных чисел R удобно задавать декартовы координа-ты точек в многомерных пространствах:
1) R2 ={(x,y),x(R, y(R} – множество декартовых координат точек на плоскости,
2) R3...