Решение краевой задачи для 2-мерного уравнения пуассона методом сеток.

  • 27 янв. 2011 г.
  • 1742 Слова
МИНИСТЕРСТВО ОБРОЗОВАНИЯ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

РЕФЕРАТ

На тему: «Решение краевой задачи для 2-мерного

уравнения Пуассона методом сеток.

Выполнил: магистрант заочного отделения

каф. ПОИТ

СуглобАндрей Александрович

Проверил:

2011

Краевая задача.

Численные методы решения для уравнений с частными производными - приближенные методы решения, в результате которых решение задачи представляется таблицей чисел. Точно решения (в виде явных формул, рядов и т. п.) К. з. можно построить лишь в редких случаях. Из приближенных методов решениянаибольшее распространение получили разностные методы ; они применимы к самым общим задачам и удобны для реализации на ЭВМ. Сущность разностных методов состоит в том, что исходная область изменения независимых переменных заменяется дискретным множеством точек - сеткой, а производные, входящие в уравнение и в граничные условия, аппроксимируются на этой сетке разностными отношениями. В результате такой процедурыисходной задаче сопоставляется система конечного числа алгебраических уравнений (линейных или нелинейных), называемая разностной схемой. За приближенное решение исходной задачи принимается решение разностной схемы. Точность приближения зависит от способа аппроксимации и от густоты сетки, т. е. от того, насколько плотно сетка заполняет исходную область. В дальнейшем рассматриваются только линейныеК. з. для уравнений с частными производными, причем исходная задача считается корректно поставленной. Обоснование разностных методов связано с исследованием корректности разностной задачи и ее сходимости при измельчении сетки. Разностная задача наз. к о р р е к т н о й, если при любых правых частях ее решение существует, единственно и устойчиво. Под устойчивостью разностной схемы понимаетсянепрерывная зависимость ее решения от правой части, равномерная относительно шагов сетки.
Пусть, напр., требуется решить задачу Дирихле для уравнения Пуассона в квадрате [pic] с границей Г:
[pic]
Область G заменяется квадратной сеткой [pic]с шагом h, т. е. множеством точек 
[pic]
а производные, входящие в уравнение, - разностными отношениями 
[pic]
где [pic] - ее решение.
Решение задачи (1)существует и единственно при любых правых частях f и при любых, граничных условиях [pic] . Более того, решение разностной задачи (1) сходится при [pic] к решению исходной задачи, причем схема имеет второй порядок точности в норме с, то есть 
[pic]
где М - постоянная, не зависящая от h.
Разностная схема (1) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений, для к-рой характерно большое число уравнений(именно [pic] уравнений, причем [pic]), большое число нулей в матрице этой системы и плохая обусловленность (отношение наименьшего собственного числа к наибольшему есть величина порядка [pic]). Для решения подобных систем уравнений, возникающих при аппроксимации дифференциальных уравнений разностными, существуют аффективные прямые и итерационные методы. Прямые методы дают точное решение разностнойзадачи после выполнения конечного числа арифметических действий. К прямым методам относятся различные варианты метода прогонки, включая матричную прогонку, метод декомпозиции, быстрое преобразование Фурье, метод суммарных представлений (см. [1], |2], [3], [6]). Эффективность прямых методов оценивается порядком числа действий при [pic] Так, матричная прогонка требует для решения задачи (1) числадействий [pic] в то время как метод быстрого преобразования Фурье требует для решения той же задачи [pic] действий. Из итерационных методов решения разностных задач используется метод Ричардсона с набором параметров, попеременно-треугольный итерационный метод, различные методы переменных направлений. Эффективность итерационных методов оценивается порядком минимального...
tracking img