Решение нелинейных уравнений методом простых итераций

  • 30 сент. 2014 г.
  • 2227 Слова
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Самарский государственный университет»
Механико-математический факультет




Кафедра дифференциальных уравнений
и теории управления
Специальность «Математическое обеспечение
и администрирование информационных систем»


Решение нелинейных уравнений методомпростых итераций
Курсовая работа



Выполнила студентка
2 курса группы 22201.10
Саклакова А. А.
Научный руководитель
к. ф.-м. н., доцент
Горелова Елена Яковлевна

оценка

Зав. кафедрой, д.ф.-м.н., профессор Соболев В. А.



Самара 2012
СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………………………3
1. Постановка задачи…………………………………………………………………………5
2. Математические иалгоритмические основы решения задачи………………………….6
2.1. Описание метода……………………………………………………………………6
2.2. Геометрическая интерпретация…………………………………………………..10
3. Блок-схема и программная реализация решения задачи………………………………11
4. Примеры выполнения программы……………………………………………….……..14
ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………………………18
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ…………………....19
ПРИЛОЖЕНИЕА……………………………………………………………………………20





















ВВЕДЕНИЕ

Одной из важнейших и наиболее распространённых задач прикладной математики является задача решения нелинейных уравнений, встречающихся в разных областях научных исследований. Любое уравнение в общем случае можно представить в виде
f ( x ) = 0 (*)
Нелинейные уравнения можно разделить на два класса - алгебраические итрансцендентные.
Алгебраическими уравнениями называются уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). Алгебраическое уравнение в общем виде можно представить многочленом n-ой степени с действительными коэффициентами:
f (x) =а0xn + а1хn-1 + ... + аn =0.

Трансцендентными называются уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные,логарифмические и т.д.), например:
2x-sin x = 0.

Задача решения уравнения (*) заключается в нахождении таких значений х, которые обращают (*) в тождество, то есть в 0:
,

где  - корень уравнения.
Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые и итерационные. Прямые методы позволяют записать корни в виде формулы. Однако встречающиеся на практике уравнения не всегда удаётся решитьпростыми методами. Для их решения используются итерационные методы, т.е. методы последовательных приближений.
Приближённое определение корней проводится в два этапа:
1. Отделение корней, т.е. установление достаточно малых отрезков, в каждом из которых содержится только один корень уравнения.
2. Уточнение приближённого значения корней до некоторой заданной степени точности. Итерационный процесссостоит в последовательном уточнении начального приближения х0. Каждый такой шаг называется итерацией.
Целью данной курсовой работы является написание программы для графической реализации нахождения корней уравнения методом простых итераций.






















1. Постановка задачи

Дано уравнение:
f ( x ) = x (1.1)
Требуется решить это уравнение, точнее, найтиодин из его корней (предполагается, что корень существует). Предполагается, что f ( x ) непрерывна на отрезке [а;b].
Входным параметром алгоритма, кроме функции f ( x ), является также начальное приближение - некоторое x0, от которого алгоритм начинает идти.
При нажатии на кнопку, в данной программе на форме строятся графики функций f ( x ) и x , для которых пользователю необходимо ввести всоответствующие поля масштаб и длины осей. На основании получившегося рисунка выбирается произвольный отрезок [х1,х2], и тогда начальное приближение определяется как
x0 = (х1+х2)/2.
После чего осуществляется построение диаграмм Ламерея на основе полученных входных данных.
















2. Математические и алгоритмические основы решения...
tracking img