Решение нелинейных уравнений методом хорд простой итерации касательных

  • 16 дек. 2016 г.
  • 2012 Слова
Абхазский Государственный Университет
Кафедра прикладной математики и информатики
Курсовая работа:
«Решение нелинейных уравнений, методом хорд, простой итерации, касательных»
Выполнил
Студент 3-го курса
Физико-математического ф-та
Спец. «Прикладная математика и информатика»
Алексанян С.Л.
Научный руководитель
Преп. Зантария З.Л.
Сухум 2016г.
Оглавление
TOC \o "1-3" \h \z \uВведение: PAGEREF _Toc448765317 \h 2Теоретическая часть PAGEREF _Toc448765318 \h 3Метод хорд PAGEREF _Toc448765319 \h 5Метод Ньютона (касательных) PAGEREF _Toc448765320 \h 8Метод простой итерации PAGEREF _Toc448765321 \h 10Заключение: PAGEREF _Toc448765322 \h 13Список использованных источников: PAGEREF _Toc448765323 \h 14
Введение:Основной целью курсовой работы является изучение и сравнительный анализитерационных методов решения нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений; реализация этих методов в виде машинных программ на языке высокого уровня и практическое решение уравнений на ЭВМ.
При разработке алгоритмов, часто возникает необходимость в решении нелинейных уравнений вида:
f(x) = 0, (1)
где функция f(x) определена и непрерывна на некотором конечном или бесконечном интервале x . Вчастности, в форме нелинейных уравнений представляются математические модели анализа статических свойств объектов проектирования или их элементов.
Теоретическая частьЕсли функция f(x) представляет собой многочлен n-й степени вида
а0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn,
то уравнение (1) называется алгебраическим. Когда x находится под знаком трансцендентной функции (показательной, логарифмической,тригонометрической и т.п.), уравнение называется трансцендентным. Значение аргумента x, при котором функция f(x) обращается в нуль, т.е. f(x*) = 0, называется корнем уравнения.
В общем случае для функции f(x) не существует аналитических формул для нахождения корней. Более того, их точное вычисление не всегда является необходимым. Это объясняется тем, что встречающиеся в инженерной практике уравнения часто содержаткоэффициенты, величины которых имеют приближенные значения. В таких случаях решается задача определения корней с некоторой заранее заданной степенью точности.
В дальнейшем предполагаем, что уравнение (1) имеет только изолированные корни, т.е. для каждого из них существует некоторая окрестность, не содержащая других корней этого уравнения. Процесс нахождения изолированных действительных корней нелинейногоуравнения включает два этапа:
1) отделение корней, т.е. нахождение интервалов [a, b], внутри которых содержится один и только один корень уравнения;
2) уточнение приближенных значений отдельных корней до заданной степени точности.
Этап отделения корней может быть выполнен различными способами. Во-первых, приближенное значение корня иногда бывает известно из физического смысла задачи. Во-вторых,для отделения корней может использоваться графический способ, основанный на построении графика функции y = f(x), где приближенные значения действительных корней уравнения f(x) = 0 соответствуют абсциссам точек пересечения или касания графика с осью 0x (y = 0).
Наиболее часто применяется метод отделения корней, основанный на следующем положении: если на концах некоторого интервала [a, b] значениянепрерывной функции f(x) имеют разные знаки, т.е. f(a)f(b) , то на этом интервале уравнение (1) имеет хотя бы один корень. При этом корень является единственным, если производная функции f'(x) существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала [a, b].
Рассмотрим простейший алгоритм отделения корней нелинейных уравнений, ориентированный на использование ЭВМ. Исходный интервал [, ], на которомопределена и непрерывна функция f(x), разбивается на n отрезков равной длины
(x0, x1), (x1, x2), ..., (xn-1, xn),
где x0 x1 ... xn и x0 = , xn = . Затем вычисляются значения функции f(xj) в точках xj (j =) и выбирается отрезок (xi, xi+1), на концах которого функция имеет разные знаки, т.е. f(xi)f(xi+1) 0. Если длина этого отрезка достаточно мала (можно...
tracking img