Решение нелинейных уравнений. Метод итерации

  • 09 июня 2010 г.
  • 1934 Слова
Московский Государственный Колледж Электромеханики и Информационных Технологий

Курсовой проект.
На тему: «Решение нелинейных уравнений.
Метод итерации»
По предмету: «Математический методы»

2010

Содержание

1. Введение……………………………………………………………………………………...3

2. Общая характеристика методов……………………………………………………………..4
3.Пример задачи для программы решения нелинейных уравнений методомитерации…..6
4.Код программы……………………………………………………………………………….7
5. Код второй программы……………………………………………………………………..12
6.Заключение…………………………………………………………………………………..16
7.Список литературы………………………………………………………………………….17

Введение

Целью курсовой работы является разработка программы решения нелинейных уравнений методом итерации. Программа включает и учитывает многие возможности впрограммировании и практике создания программ в среде программирования Delphi 7.

Общая характеристика методов
Уравнение типа F(x)=0 или x=f(x) называется нелинейным. Решить уравнение это значит найти такое x, при котором уравнение превращается в тождество. В общем случае уравнение может иметь 0; 1; 2;...∞ корней. Рассмотренные ниже численные методы решения нелинейных уравнений позволяют находить один корень назаданном интервале [a,b]. При этом на интервале должен существовать только один корень. Рассмотрим несколько методов решения нелинейных уравнений.
1. Метод перебора. При решении нелинейного уравнения методом перебора задаются начальное значение аргумента x=a и шаг h, который при этом определяет и точность нахождения корней нелинейного уравнения. Пока выполняется условие F(x)*F(x+h)>0 аргумент x увеличиваемна шаг h (x=x+h). Если произведение F(x)*F(x+h) становится отрицательным, то на интервале [x,x+h] существует решение уравнения.

2. Метод половинного деления. При решении нелинейного уравнения методом половинного деления задаются интервал [a,b], на котором существует только одно решение, и желаемая точность ε. Затем определяется середина интервала с=(а+b)/2 и проверяется условие F(a)∙F(c)ε.|Пока |b-a|>ε |
|c=(a+b)/2 |
|F(a)∙F(c)0.

Пока |F(x)|> ε[pic]

5. Метод хорд-касательных. Если в методе касательных производную функции F'(xi) заменитьотношением конечных приращений, то получаем расчетную формулу для метода хорд-касательных [pic]. Порядок выполнения вычислений в данном методе аналогичен рассмотренному ранее.

6. Метод итераций. При решении нелинейного уравнения методом итераций воспользуемся записью уравнения в виде x=f(x). Задаются начальное значение аргумента x0 и точность ε. Первое приближение решения x1 находим из выражения x1=f(x0),второе - x2=f(x1) и т.д. В общем случае i+1 приближение найдем по формуле xi+1 =f(xi). Указанную процедуру повторяем пока |f(xi)|>ε. Условие сходимости метода итераций |f'(x)| εxi+1 =f(xi).

Пример задачи для программы решения нелинейных уравнений методом итерации.

Предположим, что уравнение f (x)=0 при помощи некоторых тождественных
преобразований приведено к виду [pic].
Заметим, что такоепреобразование можно вести разными способами, и при этом будут
получаться разные функции [pic]в правой части уравнения. Уравнение f (x)=0
эквивалентно уравнению [pic]при любой функции [pic]. Таким
образом, можно взять [pic]и при этом выбрать функцию (или
постоянную) [pic]так, чтобы функция [pic]удовлетворяла тем свойствам, которые понадобятся нам для обеспечения нахождения корня уравнения.
Длянахождения корня уравнения [pic]выберем какое-либо начальное приближение [pic](расположенное, по возможности, близко к корню [pic]). Далее будем вычислять
последующие приближения [pic]

по формулам [pic]

то есть используя каждое вычисленное приближение к корню в качестве аргумента функции [pic]в очередном вычислении. Такие вычисления по одной и той...
tracking img