Решение систем линейных уравнений

  • 14 сент. 2011 г.
  • 1884 Слова
Решение систем линейных уравнений

Способы решения систем линейных уравнений делятся на две группы:
1. точные методы, представляющие собой конечные алгоритмы для вычисления корней системы (решение систем с помощью обратной матрицы, правило Крамера, метод Гаусса и др.),
2. итерационные методы, позволяющие получить решение системы с заданной точностью путем сходящихся итерационныхпроцессов (метод итерации, метод Зейделя и др.).
Вследствие неизбежных округлений результаты даже точных методов являются приближенными. При использовании итерационных методов, сверх того, добавляется погрешность метода.
Эффективное применение итерационных методов существенно зависит от удачного выбора начального приближения и быстроты сходимости процесса.
РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙРассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных х1, х2, …, хn:
|[pic] |  |
| |(13) |

[pic]
Рисунок 8.
В соответствии с правилом умножения матриц рассмотренная система линейных уравнений может бытьзаписана в матричном виде
|Ах = b, |(14) |

где:
|[pic][pic]. |  |
| |(15) |

Матрица А, столбцами которой являются коэффициенты присоответствующих неизвестных, а строками – коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении, называется матрицей системы; матрица-столбец b, элементами которой являются правые части уравнений системы, называется матрицей правой части или просто правой частью системы. Матрица-столбец х, элементы которой – искомые неизвестные, называется решением системы.
Если матрица А - неособенная, то есть det Aне равен 0 то система (13), или эквивалентное ей матричное уравнение (14), имеет единственное решение.
В самом деле, при условии det A не равно 0 существует обратная матрица А-1. Умножая обе части уравнения (14) на матрицу А-1 получим:
|[pic] |(16) |

Формула (16) дает решение уравнения (14) и оноединственно.
Системы линейных уравнений удобно решать с помощью функции lsolve.
lsolve(А, b)
Возвращается вектор решения x такой, что Ах = b.
Аргументы:
А - квадратная, не сингулярная матрица.
b - вектор, имеющий столько же рядов, сколько рядов в матрице А.
На Рисунке 8 показано решение системы трех линейных уравнений относительно трех неизвестных.
МЕТОД ГАУССА
Метод Гаусса, его еще называютметодом Гауссовых исключений, состоит в том, что систему (13) приводят последовательным исключением неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей:
|[pic] | |

решение которой находят по рекуррентным формулам:
|[pic].|(17) |

В матричной записи это означает, что сначала (прямой ход метода Гаусса) элементарными операциями над строками приводят расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:
[pic]
а затем (обратный ход метода Гаусса) эту ступенчатую матрицу преобразуют так, чтобы в первых n столбцах получилась единичная матрица:
[pic].
Последний, (n + 1) столбец этой матрицы содержитрешение системы (13).
В Mathcad прямой и обратный ходы метода Гаусса выполняет функция rref(A).
На Рисунке 9 показано решение системы линейных уравнений методом Гаусса, в котором используются следующие функции:
rref(A)
Возвращается ступенчатая форма матрицы А.
augment(A, В)
Возвращается массив, сформированный расположением A и В бок о бок. Массивы A и В...
tracking img