Решение смешанной краевой задачи

  • 08 апр. 2012 г.
  • 4744 Слова
Оглавление
Введение 3
Глава 1. Разностные методы решения дифференциальных уравнений. 4
1.1. Сетка. Аппроксимация частных производных разностными отношениями. 4
1.2. Операторная форма записи дифференциальных краевых задач 8
1.3. Нормы. Погрешность приближённого решения. Сходимость. Порядок сходимости 14
1.4. Устойчивость 16
Глава 2. Решение смешанной краевой задачи для гиперболическогоуравнения разностным методом. 19
2.1. Общая постановка задачи 19
2.2. Cмешанная краевая задача с граничными условиями третьего рода 20
Заключение 27
Список используемой литературы 28
Приложение 29










Введение

Дифференциальные уравнения в частных производных имеют широкое приложение в математической физике, гидродинамике, акустике и других областях знаний. Большинство таких уравнений вявном виде не решаются. Поэтому широкое распространение получили методы приближенного их решения, например метод сеток, частным случаем которого является разностный метод [2]. Это универсальный и эффективный метод. Он позволяет сводить приближенное решение уравнений в частных производных к решению систем алгебраических уравнений [3].
Цели курсовой работы:
1). Обзор литературы по теме «Решениесмешанной краевой задачи для гиперболического уравнения разностным методом».
2). Реализация разностного метода применительно к смешанной краевой задачи для гиперболического уравнения в системе программирования Borland C++ Version 3.1.
Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложения. Первая глава посвящена обзору основных понятия, касающихся разностныхсхем. Во второй главе рассматривается смешанная краевая задача, для которой приведен алгоритм построения разностной схемы, а также описание программы «smesh_giperb» и её тест на конкретном примере. В приложении представлен код программы, позволяющий получить приближенное решение смешанной краевой задачи с граничными условиями третьего рода.








Глава 1. Разностные методы решения дифференциальныхуравнений.

Материал, приведенный в этой главе, взят из книги [1], [2], [3].
Характерной особенностью различных разностных методов является то, что в качестве приближенного решения выбирается сеточная функция. Выделим основные пункты построения и исследования разностных схем.
1. Заменить область непрерывного изменения аргумента на дискретную область изменения. Это дискретное множествоточек называется сеткой или решеткой, а отдельные точки этого множества - узлами сетки. Чаще всего сетка выбирается прямоугольной и равномерной.
2. Заменить в узлах этой сетки производные искомой функции разностными отношениями, использовав формулы численного дифференцирования.
3. Проверить условие аппроксимации разностной схемы.
4. Доказать устойчивость построенной разностной схемы. Это один из наиболееважных и сложных вопросов. Если схема обладает аппроксимацией и устойчивостью, то о сходимости разностной схемы судят о теореме доказанной ниже.
В результате получилась система алгебраических уравнений для определения приближённого решения. Такая система часто называется разностной схемой. Точно так же можно заменить и частные производные и свести краевую задачу для дифференциальногоуравнения в частных производных к алгебраической системе. Функция, определенная в узлах сетки называется сеточной функцией.



1 Сетка. Аппроксимация частных производных разностными отношениями.

Мы ввели уже понятие сетки, узлов сетки, разностной схемы и сеточной функции .
Обозначим
[pic] - искомая функция, [pic],
[pic] - открытая область с границей [pic],
[pic]- сетка на [pic], где h -вещественный положительный параметр, характеризующий густоту точек на сетке.
[pic]- сеточная функция, совпадающая с точным решением дифференциальной краевой задачи [pic] во всех узлах сетки [pic], называемая точным решением на сетке или точным сеточным решением.
Теперь рассмотрим примеры сеток.
Пример 1.
Равномерная сетка на отрезке. Разобьем единичный отрезок [0, 1] на N...
tracking img