Решение уравнений третьей и четвертой степени

  • 09 апр. 2012 г.
  • 4113 Слова
Содержание:

1. Решение уравнений третьей степени по формуле Кардано……………………… 3

2. Кубичные уравнения с действительными коэффициентами………………………….

3. Решение уравнений четвертой степени методом Феррари………………………………

4. Решение уравнений………………………………..

5. Литература……………………………………………..

1. Решение уравнений третьей степени по формуле Кардано.
Правила решенийуравнений первой и второй степени были известны еще в античные времена. Для уравнений более высоких степеней были известны лишь некоторые приемы решения уравнений частных видов. В XVI веке в Италии несколькими математиками одновременно был открыт способ алгебраического решения кубических уравнений. Он был опубликован не первооткрывателем метода, но выдающимся разносторонним ученым Кардано, имя которогоизвестно каждому автомобилисту и трактористу, так как Кардано изобрел простое и практичное приспособление для передачи вращения с одного вала на другой, не жестко скрепленный с первым. Ученики Кардано обнаружили, что решение общего уравнения четвертой степени можно свести к решению кубического уравнения и нескольких квадратных.

2.1. Общее кубическое уравнение или каноническое уравнение третьейстепени.

Общее кубическое уравнение или каноническое уравнение третьей степени имеет вид:
аx3 + bx2 + cx + d = 0 . (1)

Для графического анализа кубического уравнения в декартовой системе координат используется кубическая парабола.

Любое кубическое уравнение общего вида может быть приведено к канонической форме с коэффициентами p и q.

При помощи подходящей замены переменной видаx = y – α.
Подставляя три последние формулы в соответствующее кубическое уравнение, находим эту замену.

Мы будем считать, что коэффициенты – комплексные цифры, и задача состоит в отыскании комплексных корней. Без нарушения общности можно считать, что a = 1, ибо а ≠ 0 и на него можно поделить обе части уравнения.
Следовательно, замена примет вид: x = y – b3.
Получим:

y – b33+ by– b32+ cy – b3+ d=0

и, раскрывая скобки и приведя подобные члены, приведем к уравнению
y3 + c- b23y+ d- bc3+ 227b3=0

Обозначив c – b23=p, d- bc3+ 227b3=q,
Получаем приведенное кубическое уравнение:
y3 + py + q = 0. (2)

Для дальнейшего исследования нужна следующая элементарная лемма.

Лемма: существует пара чисел α и β с наперед заданными суммой α + β = а ипроизведением α*β = b. Именно эти числа являются корнями квадратного уравнения
z2 - az +b =0.

Положим теперь y = α + β.
Уравнение примет вид:
α3+ 3 α2β + 3 αβ2 + β3 + з α + β+=0 или
α3+ β3 + 3 αβ+p α + β+ q=0.

Положим, 3 αβ+p =0.
Тогда, α3+ β3 + q=0.
Ясно, что если α3+ β3 + q=0 и 3 αβ+p =0, то y = α + β, будет удовлетворять уравнению
y3 +py + q = 0.

Таким образом, нам нужно решить систему
α3+ β3 = -q3 αβ= -p
Возведем второе уравнение в куб : α3β3= - p327 .
Мы получили, что для α3 и β3 известны сумма и произведение. Поэтому числа α3 и β3 находятся как корни квадратного уравнения z2 + qz - p327 =0
Откуда,
α3 = - q2+ q2 4+p327 , β3 = - q2- q2 4+p327 и соответственно
α = 3- q2+ q24+p327, β = 3- q2- q24+p327 .

Для y получается так называемая формула Кардано:
y = 3- q2+ q24+p327 + 3- q2- q24+p327 . (3)

Кардано формула названа по имени Джеролано Кардано и впервые была опубликована им в 1545 году, хотя вопрос о том, была она найдена самим Кардано или заимствована им от Н. Тартальи, или даже ещё раньше (около 1515 г.) открыта С. Ферро, нельзя считать вполне решенным.Для каждого из кубических корней в поле комплексных чисел имеются три значения и для обоих корней имеется девять комбинаций. Однако из них нужно сохранить только те, для которых
αβ=- p3, т.е. β=- p3а .
Обозначим через ω1 и ω2 первообразные кубические корни из 1, т.е.
ω1= - 12 + ι√32 , ω2= - 12 - ι√32 .

Пусть α1 и β1 - одна подходящая пара значений для α и β....
tracking img