Ряды Фурье

  • 20 янв. 2013 г.
  • 2241 Слова
Для того чтобы изучить теорему Фурье рассмотрим ту область дифференциальных уравнений где она применяется.
Решение линейного дифференциального уравнения выше первого порядка с переменными коэффициентами не всегда выражаются через элементарные функции, и интегрирование такого уравнения редко приводится к квадратурам. Наиболее распространенным приемом интегрирования указанных дифференциальныхуравнений является представление искомого решения в виде степенного ряда.
Для начала изложим методику нахождения решений линейных уравнений с помощью обобщенных степенных рядов, т.е. рядов вида:
x-x0ρk=0∞ak(x-x0)k , (*)
где ρ -вещественное или комплексное число, a0≠0(этого можно добиться путём изменения показателя ρ ),степенной ряд k=0∞ak(x-x0)k будет сходится на промежутке
x-x0<R. Если ρ –целое неотрицательное число, то ряд (*) превратится в обычный степенной ряд.
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка
y''+pxy'+qxy=0 (**)
c голоморфными коэффициентами на некотором интервале . Допустим что x0-это особая точкауравнения, т.е. хотя бы одна из функций px, qx имеет в точке x0 особенность (т.е. нарушается голоморфность ). Именно в этом случае и справедлива теорема Фукса:
Для того, чтобы линейное уравнение (**) обладало фундаментальной системой решений y1x,y2x ,представимых в окрестности особой точки формулами :
I) y1x=x-x0ρ1k=0∞ak(x-x0)k, a0≠0 , y2x=x-x0ρ2k=0∞bk(x-x0)k, b0≠0,
II)y1x=x-x0ρ1k=0∞ak(x-x0)k, a0≠0 , y2x=Alnx-x0y1x+x-x0ρ2k=0∞bk(x-x0)k, b0≠0,
III) y1x=x-x0ρ1k=0∞ak(x-x0)k, a0≠0 , y2x=Alnx-x0y1x+x-x0ρ1k=0∞bk(x-x0)k, A≠0, необходимо и достаточно, чтобы
px=p0+p1x-x0+⋯x-x0 , qx=q0+q1x-x0+⋯(x-x0)2 ,
p0+q0+q1 ≠0, причем ρ1 , ρ2 - корни определяющего уравнения
( в особой точке x0 )ρρ-1+p0ρ+q0=0 (***)
При этом не забываем о двух замечаниях тесно связанных с теоремой Фукса.
Замечание 1. При выполнении условий теоремы Фукса особая точка x0 называется регулярной особенностью для дифференциальных уравнения (**). Особенность будет называться иррегулярной в противном случае. Коэффициенты p0 , q0 определяющего уравнения можно находить по формулам
p0=limx→x0x-x02 px ,q0=limx→x0x-x02 qx.
Замечание 2.Теорема Фукса распространяется и на линейные дифференциальные уравнения n-го порядка.
Упорядочим корни определяющего уравнения (3) по их вещественным частям, т.е. будем считать, что Reρ1≥Reρ2 .
Тогда случай 1 (из теоремы Фукса) будет иметь место, если ρ1, ρ2 –различные , причем ρ1-ρ2≠τ, τ>0 –целое число.
Случай 2 будет возможен, если ρ1, ρ2 –различные ,но ρ1-ρ2=τ,
τ>0 –целое число. В этом случае y2x может иметь логарифмическую особенность в точке x0 (это возможно при A≠0). Если же корни ρ1, ρ2 совпадают, т.е. τ=0 , то имеет место случай 3 и второе решение y2x обязательно имеет в точке x0 логарифмическую особенность (здесь тоже A≠0 ).
А теперь рассмотрим все более подробно с точки зрения понимания студентом. Рассмотрим всевспомогательные теоремы и разберемся на самых очевидных примерах.
Теорема 1. Об аналитичности решения. Пусть дано линейное уравнение второго порядка:
x-x0ρk=0∞ak(x-x0)k poxy''+p1xy'+p2xy=0 (1)

Если pix- аналитические функции x в окрестности точки x0, то решения уравнения (1) тоже будут аналитическими функциями в точке x0 и, следовательно, их можнопредставить в виде ряда:
yx=n=0∞an(x-x0)n (2)
Теорема 2. О разложимости решения в обобщенный степенной ряд. Если (1) удовлетворяет условиям теоремы 1, но при этом x=x0 является нулем порядка s для функции p0x, где s -конечное число, нулем порядка s-1 или выше для p1x и нулем порядка не ниже s-1 ,для p2x (s>2 ). Тогда существует хотя бы одно...