Свойства выпуклости функций

  • 19 янв. 2013 г.
  • 1055 Слова
- Функция , выпуклая на интервале , непрерывна на всём , дифференцируема на всём за исключением не более чем счётного множества точек и дважды дифференцируема почти везде.
- Непрерывная функция выпукла на когда для всех точек выполняется неравенство

- Непрерывно дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале, когда её график лежит не ниже касательной, проведённой кэтому графику в любой точке промежутка выпуклости.
- Дважды дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале, когда её вторая производная неотрицательна на этом интервале. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции строго положительна, такая функция является строго выпуклой, однако обратное неверно (например, функция строго выпукла на , но её вторая производная в точкеравна нулю).
- Если функции , выпуклы, то любая их линейная комбинация с положительными коэффициентами , тоже выпукла.
- Локальный минимум выпуклой функции является также глобальным минимумом (соответственно, для выпуклых вверх функций локальный максимум является глобальным максимумом).
- Любая стационарная точка выпуклой функции будет глобальным экстремумом.
- Для выпуклых функцийвыполняется неравенство Йенсена:

где — случайная величина со значениями в области определения функции , — математическое ожидание. Свойство выпуклости функции является фундаментальным в математике наравне с такими свойствами как монотонность, непрерывность, дифференцируемость и так далее. Особенно обширно оно применяется в теории экстремальных задач. Поэтому студент, прослушавший курс "Методыоптимизации", должен твердо усвоить его и уметь применить при решении утилитарных задач оптимизации. В учебниках и учебных пособиях по курсу "методы оптимизации"изучению темы "Выпуклые функции"отводится немного времени. По существу излагаются лишь определения и критерии выпуклости; алгебру выпуклых функций студент, по словам авторов учебников, должен освоить самостоятельно в процессе решения примеров.Впрочем по новой учебной программе практические занятия по методам оптимизации исключены из числа обязательных. Это обуславливает необходимость подготовки руководства, призванного более детально познакомить студента со свойствами выпуклых функций и способствовать выработке у него практических навыков по анализу на выпуклость функций в практических задачах оптимизации. Определение и практические свойствавыпуклых функций. Определение. Функция f (x), заданная на выпуклом множестве M ⊂ Rn , называется выпуклой, если для любых x1 , x2 и числа α, 0 ≤ α ≤ 1 выполняется неравенство f (αx1 + (1 − α)x2 ) ≤ αf (x1 ) + (1 − α)f (x2 ) Если равенство достигается только при α = 0 и α = 1, то именуется строго выпуклой. Примерами строго выпуклой функции может служить функция:
1. y = lx
2. y = x2
3. y = sin x, x ∈[π, 2π]
4. y = cos x, x ∈ [π/2, 3π/2]
По определению f (x) является выпуклой, если значение ее от выпуклой комбинации значений аргумента x1 и x2 не больше, чем выпуклая комбинация значений f (x) при этих значениях аргумента. Геометрически это обозначает, что хорда, соединяющая эти две точки (любые) графика функции,nлежит над дугой, концами которой являются эти точки. Противоположным по смыслувыпуклости функции является представление вогнутой функции. Определение. Функция f (x), заданная на выпуклом множестве, именуется вогнутой (строго вогнутой), если g(x) = −f (x) является выпуклой (строго выпуклой) функцией. При решении практической задачи оптимизации нужно предварительно исследовать саму целевую функцию и функции, определяющие ограничения на выпуклость. От результатов этого исследованиязависит выбор метода численного решения. Часто для этих целей достаточно определения. Рассмотрим ряд примитивных примеров.
1. Функция y = x является выпуклой. Действительно, для любых x1 , x2 ⊂ M имеем
y(λx1 + (1 − λ)x2 ) = λx1 + (1 − λ)x2 ≤
≤ λ x1 + (1 − λ) x2 = λy(x1 ) + (1 − λ)y(x2 )
2. Квадратная форма y = xT Bx + bx + c является выпуклой функцией, где B –...
tracking img