Система счисления

  • 13 окт. 2013 г.
  • 2006 Слова
Что такое система счисления
Для того, чтобы разобраться, как хранится и обрабатывается информация в компьютере, познакомимся сначала с понятием система счисления и с основами двоичной арифметики.
Система счисления — это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков — цифр. Существуют непозиционные и позиционные системы счисления.
В непозиционных системах вес цифры (т. е.тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа.
Знакомая нам римская система счисления для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000 использует заглавные латинские буквы I, V, X, L, C, D и M соответственно. Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд чисел.
Например, число 34 будет выглядеть так: XXXIV.
Проверим: XXXIV = 10 + 10+ 10 + (5 – 1). Вес цифры X в каждой позиции равен десяти. Но попробуйте-ка перемножить в этой системе LXXVII на XV (т. е. 77 на 15), не переходя к привычной нам записи чисел!
Позиционная система счисления — замечательное изобретение человечества! Возникновение этой системы стало возможным после величайшего изобретения — цифры 0 для обозначения отсутствующей величины.

Знаменитыйматематик и физик XVIII–XIX вв. П. Лаплас сказал: «Мысль выражать все числа десятью знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще значение по месту, на_ столько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко было прийти к этому методу, мы видим на примере величайших гениев греческой учености Архимеда и Аполлония, от которых эта мысль оста_ лась скрытой»Познакомимся с позиционной системой счисления поближе.



Десятичная система счисления

Мы с вами пользуемся десятичной системой счисления. Она пришла из Индии, где появилась не позднее VI в. н. э.
Рассмотрим три числа: 153, 531, 315. Они различны, хотя в них участвуют одни и те же цифры. Различаются же записи расположением цифр, — иными словами, тем, какую позицию занимает та или иная цифра.Отсюда и пошло название такой системы — позиционная система.
В первом числе (153) единица — это не просто единица, а одна сотня. Пятерка соответственно умножается на десять, а вот тройка — тройка и есть. Иными словами, число 153 можно записать в виде:
153 = 100 + 50 + 3
или
153 = 1 × 102 + 5 × 101 + 3 × 100.
Для справки: возьмем любое, не равное нулю число, например:
20 = 1 100 =1 80 = 1
21 = 0,5 102 = 0,01 81 = 0,125
Запишем в виде суммы еще одно число, например 3265, и рас смотрим его внимательно. В числе 3265 имеются 5 единиц, 6 десятков, 2 сотни и 3 тысячи. Каждую цифру в числе пронумеруем справа налево, начиная нумерацию с нуля. Цифра 5 получит номер 0, цифра 6 — номер 1, 2 — номер 2, 3 — номер 3.
Эти номера являются показателями степеней числа 10 вследующей записи:
[pic]
Очевидно, что в десятичной системе число 10 и его степени: 10, 100, 1000, и т. д. играют особую роль. Как выглядит счет в десятичной системе?
0, 1, 2, 3,…, 9, 10…
Обратите внимание: как только нам не хватило цифры (цифры 10 нет!), появилась единица в старшем разряде — разряде десятков — и ноль в младшем.
Мы получили первую степень числа 10 — основания десятичнойсистемы (10=101). Числа стали состоять из двух цифр. Считая дальше, действуем аналогично:
…97, 98, 99, 100,…
100 = 102 — вторая степень числа 10. Числа стали трехзначными. И так далее.
Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, которые используются в этой системе для изображения цифр.
В десятичной системе счисления основание равно 10, т. к. в нейиспользуются десять цифр от 0 до 9. (Не путайте цифры и числа!) Выбор числа 10 в качестве основания позиционной системы в значительной мере объясняется традицией, а не какими-то замечательными свойствами числа 10.
Чтобы записать смешанное число, то есть число, состоящее из целой и дробной частей, используются отрицательные степени числа 10.
Рассмотрим, например, число...
tracking img