Теоретической основой моего эссе выступила работа американского экономиста Эдварда Чемберлина (1899-1967) «Теория монополистической

  • 01 июня 2013 г.
  • 1532 Слова
Глава 2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ


2.1. Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные интегралы по длине)


2.1.1. Вычисление криволинейных интегралов первого рода

Вычисление криволинейного интеграла I рода сведем к вычислению определенного интеграла.
Если кривая [pic] задана уравнением [pic], [pic], где [pic] – непрерывно дифференцируемая функция, причем [pic], [pic],то
[pic], (2.1)
где [pic] – дифференциал дуги кривой [pic].
Если кривая [pic] задана параметрическими уравнениями [pic], [pic], [pic], где [pic] и [pic] – непрерывно дифференцируемые функции параметра [pic], причем точке [pic] соответствует значение параметра [pic], точке [pic] – [pic], то
[pic], (2.2)
где [pic] – дифференциал дуги кривой.
Если кривая [pic] задана уравнением [pic], [pic] вполярных координатах, где [pic] – непрерывно дифференцируемая функция, то
[pic], (2.3)

где [pic] – дифференциал дуги кривой.
Задача 2.1. Вычислить [pic], где [pic] – отрезок прямой, соединяющей точки [pic] и [pic].
Решение. Определим уравнение прямой, проходящей через точки [pic] и [pic] из канонического уравнения [pic], т.е. [pic], [pic]. Дифференциал дуги равен [pic]. Подставляя полученныевыражения в (2.1) вычисляем интеграл:
[pic].
Ответ. [pic].
Задача 2.2. Вычислить [pic], где [pic] – часть спирали Архимеда [pic], заключенная внутри круга радиуса [pic] с центром в точке [pic].
Решение. Вычислим интеграл с помощью формулы (2.3). Найдем пределы интегрирования, для этого приравняем правые части уравнений спирали Архимеда [pic] и окружности [pic]: [pic], откуда [pic]. Дифференциал дуги [pic] равен[pic]. Подынтегральную функцию выразим в полярных координатах, связанных с декартовыми координатами соотношениями: [pic], [pic] и вычислим интеграл:
[pic]
[pic].
Ответ. [pic].
Задача 2.3. Вычислить [pic], где [pic] – дуга окружности [pic], [pic], [pic].
Решение. Вычислим интеграл с помощью формулы (2.2), учитывая, что [pic], [pic]:
[pic].
Ответ. [pic].
• Рекомендуем решить: задачи № 3770 – 3775.2.1.2. Применение криволинейных интегралов I рода


Длина [pic] кривой [pic] вычисляется по формуле
[pic], (2.4)
где [pic] – дифференциал дуги кривой.
Если функция [pic] определяет плотность вещества в точке [pic] кривой [pic], то масса [pic] кривой [pic] вычисляется по формуле:
[pic]. (2.5)
Задача 2.4. Вычислить длину дуги параболы [pic] между точками ее пересечения с прямой [pic].Решение. Вычислим длину дуги с помощью формулы (2.4). Найдем абсциссы точек пересечения заданных линий, решив систему уравнений
[pic] [pic] [pic], [pic].
Дифференциал дуги параболы [pic] равен
[pic],
следовательно, [pic]
[pic][pic].
Ответ. [pic].
Задача 2.5. Найти массу четверти окружности [pic], [pic], расположенной в первом квадранте, если плотность кривой в каждой точке равна квадрату ординаты этойточки.
Решение. Для вычисления массы кривой воспользуемся формулой (2.5). Если [pic] – точка на кривой [pic], то по условию задачи плотность вещества в точке [pic] равна [pic]. Параметр [pic] для четверти окружности изменяется от [pic] до [pic]. Дифференциал дуги равен [pic]. Вычислим интеграл:
[pic][pic].
Ответ. [pic].
• Рекомендуем решить: задачи № 3784 – 3788.


2.2. Криволинейные интегралы второгорода (криволинейные интегралы по координатам)


2.2.1. Вычисление криволинейных интегралов второго рода

Вычисление криволинейного интеграла II рода также сведем к вычислению определенного интеграла. Предположим, что [pic] и [pic] непрерывны вдоль кривой [pic], тогда имеют место следующие утверждения.
Если кривая [pic] задана уравнением [pic], [pic], где [pic] – непрерывно дифференцируемая функция,причем [pic], [pic], то
[pic]. (2.6)
Если кривая [pic] задана параметрическими уравнениями [pic], [pic], [pic], где [pic] и [pic] – непрерывно дифференцируемые функции параметра [pic], причем точке [pic] соответствует значение параметра [pic], точке [pic] – [pic], то
[pic]. (2.7)
Если кривая [pic] задана уравнением [pic], [pic] в полярных координатах, где [pic] –...
tracking img