Теория сравнений

  • 24 авг. 2011 г.
  • 3116 Слова
Содержание
I.Введение………………………………………………………..…………..3
II. Сравнения с неизвестной величиной………………………..………..4-9
III.Сравнения 1-й степени………………………………………..…….10-14
IV.Сравнения по простому модулю ……………………………..……15-22
V.Сравнения по составному модулю……………………..……………23-25
VI.Двучленные сравнения………………………………….…………..26-28
VII.Заключение……………………………..………………………..……..29
VIII.Список использованнойлитературы…….…………………..………30



Введение
В настоящее время теория сравнения представляет собой важную ветвь математической науки, методы которой применяются не только в теоретических, но и в прикладных вопросах (теории кодирования, передаче информации, и т. д.). Основоположник теории сравнения является великий немецкий математик К.Ф.Гаусс(1777-1855). В своих знаменитых «Арифметическихисследованиях» (1801) и других трудах он изложил все существенное, что было создана до него, причем во многом в более общей форме. Кроме того, ему принадлежат крупные открытия, из которых отметим следующие: Гаусс создал аппарат сравнений и доказал основной закон в теории сравнений второй степени так называемый закон взаимности. Он развил теорию квадратичных форм. Его арифметическая теория целых комплексных чисел имелабольшое значение для развития алгебраической теории чисел. Гаусс рассматривал также особые тригонометрические суммы, которые сыграли важную роль в аналитической теории чисел. В курсовой работе показано применение теории сравнений и ее приложениям к неопределенным уравнениям, решение сравнений с одной неизвестной, решение сравнений по простому и составному модулям, рассмотрен вопрос о двучленныхсравнениях. На каждую из рассмотренных тем приводятся решенные примеры и задачи для самостоятельного решения.

СРАВНЕНИЯ С НЕИЗВЕСТНОЙ ВЕЛИЧИНОЙ
1.Сравнения с одной неизвестной
Возьмем многочлен с целыми коэффициентами:. Рассмотрим сравнение f(x) = 0 (mod m), которое будем называть сравнением с неизвестной величиной x. Если мы будем в это сравнение вместо x подставлять различные целые числа, то, вообщеговоря, некоторые значения x могут удовлетворять сравнению, т. е. соответствующие значения f(x) могут оказаться делящимися на m. Поставим задачу отыскания множества всех таких значений x, причем не исключена возможность и того, что это множество может оказаться пустым. Эта задача аналогична алгебраической задаче нахождения решений уравнения f(x) = 0. В алгебре мы ищем значения х, при которых f (х) обращаетсяв нуль. Решая сравнение f (х)≡0 (mod m), мы ищем значения х, и притом целые, при которых f(x) делится на m, т. е. имеет при делении на m остаток, равный нулю.
Оказывается, что сравнение f (х)≡0 (mod m) либо вообще не имеет места ни при каких значениях х, либо существует бесконечное множество целых чисел х, удовлетворяющих сравнению, причем все эти значения х образуют некоторое число классов помодулю m.
Теорема 1. Если некоторое число a удовлетворяет сравнению f (х)≡0 (mod т), то весь класс a состоит из чисел, удовлетворяющих этому сравнению.
Согласно этой теореме если в классе имеется хотя бы одно число, удовлетворяющее сравнению f(x)≡0(mod m), то весь класс состоит из чисел, удовлетворяющих сравнению, а если в классе имеется хотя бы одно число, не удовлетворяющее сравнению, то и веськласс состоит из чисел, не удовлетворяющих сравнению. Принимая это во внимание, естественно решениями сравнения называть не отдельные числа, удовлетворяющие сравнению, а соответствующие классы.
Определение 1. Решением сравнения f (х)≡0 (mod т) называется класс по модулю т, состоящий из чисел, удовлетворяющих этому сравнению.
Если класс чисел по модулю m является решением сравнения f(x)≡ ≡0(mod m),то говорят, что класс удовлетворяет данному сравнению. Соответственно определению 1 числом решений сравнения f (x)≡0 (mod m) называют число классов по модулю m, удовлетворяющих этому сравнению.
Таким образом, чтобы решить сравнение f (х)≡0 (mod m), можно взять любую полную систему вычетов по модулю т: x1,x2,…,xmвычислить f(x1), f(x2), f(xm) и отобрать...
tracking img