Теория функции комплексного переменного. Курс лекций.

Теория функции комплексного переменного. Курс лекций.
Гурина Т.А.

Глава 1 Введение в комплексный анализ
1.1 Множество комплексных чисел

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C. N – множество натуральных чисел; Z – множество целых чисел; Q – множество рациональных чисел; R – множество действительных чисел; C – множество комплексных чисел. Пример. Решим уравнение x2 − 2x + 5 = 0 √ x12 = 1 ± −4; √ −1 = i ∈ R; /x1 = 1 − 2i, x2 = 1 + 2i; Определение 1 (Комплексное число). Говорят, что пара (комплекс) z = (x, y), x, y ∈ R является комплексным числом и пишут: x = Re z; y = Im z, если выполняются следующие условия: 1. z1 = z2 , (x1 , y1 ) = (x2 , y2 ) ⇔ x1 = x2 , y1 = y2 ; 2. z1 + z2 = (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ); 3. z1 ·z2 = (x1 , y1 )·(x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 );Замечание. z = (x, 0) = x – чисто действительное число; (0, y) – чисто мнимое число; (0, 1) = i – мнимая единица. i2 = (0, 1)·(0, 1) = (0·0 − 1·1, 0·1 + 1·0) = (−1, 0) = −1. 2

1.1. Множество комплексных чисел

3

Теорема 1 (Свойства операций над комплексными числами). Пусть z = (x, y), z1 = (x1 , y1 ), z2 = (x2 , y2 ), z3 = (x3 , y3 ) ∈ C. Тогда справедливы следующие свойства: I Свойства сложения: 1.z1 + z2 = z2 + z1 – свойство коммутативности; 2. z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3 – свойство ассоциативности; 3. ∃! e : z + e = z. e = (0, 0) - существование и единственность нейтрального элемента по сложению 4. ∃! z −1 : z+z −1 = e - существование и единственность обратного элемента по сложению II Свойства умножения: 1. z1 ·z2 = z2 ·z1 – свойство коммутативности; 2. z1 ·(z2 ·z3 ) = (z1 ·z2 )·z3 –свойство ассоциативности; 3. ∃! e : z·e = z. e = (1, 0) - существование и единственность нейтрального элемента по умноженио; 4. ∃! z −1 : z·z −1 = e. z −1 = x2 x −y , 2 x2 + y 2 +y

- существование и единственность обратного элемента по умноженио; III Свойство дистрибутивности: (z1 + z2 )·z3 = z1 z3 + z2 z3 Доказательство. I.1 (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) = (x2 + x1 , y2 + y1) = z2 + z1 . Коммутативность сложения комплексных чисел следует из коммутативности сложения действительных чисел. I.3 (x, y) + (0, 0) = (x, y), т.е. e = (0, 0) = 0 - нейтральный элемент по сложению. Докажем единственность нейтрального элемента. Пусть ∃˜ = e : z + e = e ˜ z ⇒ e + z + e = z + e = z + e = z ⇒ e = e. ˜ ˜ ˜ Замечание. Множество, обладающее свойствами I и II, называется алгебраическимполем. Множества R и Q являются алгебраическими полями; множества N и Z алгебраическими полями не являются.

4

Глава 1. Введение в комплексный анализ

Замечание. 1. Наличие обратных элементов по сложению и умноженио означает наличие операций вычитания и деления. 2. На множестве C отсутствует отношение порядка, т.е. запись вида z1 > z2 не имеет смыла. Определение 2 (Алгебраическая формазаписи комплексного числа). z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)·(y, 0). Равенство вида z = x + iy называется алгебраической формой записи комплексного числа z. Замечание. В алгебраической форме свойства Определения 1 весьма очевидны : z1 + z2 = x1 + iy1 + x2 + iy2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ); z1 z2 = (x1 + iy1 )·(x2 + iy2 ) = x1 x2 + iy1 x2 + ix1 y2 + i2 y1 y2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + + i(x1 y2 + y1x2 ); Определение 3 (Модуль и аргумент комплексного числа). Комплексное число можно графически представить в виде вектора, у которого первая координата равна действительной части комплексного числа, а вторая мнимой (см. рисунок). Модуль комплексного числа, |z| = r = x2 + y 2 , - длина вектора. Аргумент: ϕ = arg z, ϕ ∈ (−π, π] Im z 6 z = (x, y)







y

0 x Re z sin ϕ = y/r; cos ϕ= x/r; Arg z = arg z + 2πn, n ∈ Z. Определение 4 (Тригонометрическая форма записи комплексного числа). z = x + iy = r cos ϕ + i r sin ϕ = r(cos ϕ + i sin ϕ) z = |z|(cos Arg z + i sin Arg z)

-

1.1. Множество комплексных чисел

5

Определение 5 (Показательная форма записи комплексного числа). Согласно формуле Эйлера: eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ, ϕ ∈ R; z = |z|(cos Arg z + i sin...