Теория экономических циклов

  • 02 мая 2013 г.
  • 1144 Слова
Определение. Линейным уравнением относительно переменных x, y, z называется уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0, где хотя бы один из коэффициентов А, В, С отличен от нуля.
Теорема. Всякая плоскость в пространстве определяется линейным уравнением
общее ур-ние пл-ти
и обратно, всякое линейное уравнение (3) определяет плоскость в пространстве.
Действительно, пусть в пространстве R3 заданаплоскость (Р) (рис. 1).

Выбираем на ней какую-либо точку M0(x0, y0, z0), и в некоторой точке плоскости (P)построим ненулевой вектор , перпендикулярный плоскости (P). Для того, чтобы произвольная точка M(x, y, z) пространства принадлежала плоскости (P), необходимо и достаточно, чтобы , то есть
векторное ур-ние пл-ти
.
Т.к.  и , то скалярное произведение в (4) можем заменить через координаты сомножителей,а именно:
уравнение плоскости, проходящей через заданную точку M0(x0, y0, z0).
Уравнение (5) перепишем в виде:

Уравнение (6) и есть уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M1, M2, M3.
Прямая на плоскости

     Общее уравнение 

Ax + By + C ( > 0).
     Вектор  = (А; В) - нормальный вектор прямой.
     В векторном виде:  + С = 0, где  - радиус-вектор произвольнойточки на прямой (рис. 4.11).
     Частные случаи:
     1) By + C = 0 - прямая параллельна оси Ox;
     2) Ax + C = 0 - прямая параллельна оси Oy;
     3) Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат;
     4) y = 0 - ось Ox;
     5) x = 0 - ось Oy.
Уравнение прямой в отрезках.
Пусть дано уравнение Ах+Ву+С=0 при условии, что ни один из коэффициентов не равен нулю. Перенесем коэффициент С вправую часть и разделим на -С обе части.

Используя обозначения, введенные в первом пункте, получим уравнение прямой «в отрезках»:
 (3)
Оно имеет такое название потому, что числа а и b являются величинами отрезков, которые прямая отсекает на осях координат
Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой
Пусть на плоскости хОу дана прямая. Проведем через начало координат перпендикуляр кданной прямой и назовем его нормалью. Обозначим через Р точку пересечения нормали с данной прямой и установим положительное направление нормали от точки О к точке Р.
Если  - полярный угол нормали, р - длина отрезка  (рис.), то уравнение данной прямой может быть записано в виде
;
уравнение этого вида называется нормальным.
Нормальным уравнением плоскости называется ее уравнение, написанное ввиде
, (1)
где , ,  - направляющие косинусы нормали плоскоти, p - расстояние от начала координат до плоскости. При вычислении направляющих косинусов нормали следует считать, что она направлена от начала координат к плоскости (если же плоскость проходит через начало координат, то выбор положительного направления нормали безразличен).
Общее уравнение плоскости

   Расстояние от точки до плоскости   Отклонение точки от плоскости 

или

где знак перед корнем противоположен знаку D, если  и выбран произвольно, если D = 0. Если данная точка и начало координат находятся по разные 
стороны от плоскости, то отклонение равно расстоянию от 
точки до плоскости. Если начало и точка находятся по одну 
сторону от плоскости, то отклонение равно МИНУС расстоянию 
от точки до плоскости. Вычисляется отклонение по нормальному уравнению плоскости.
Взаимное расположение 2х прямых на пл-ти
Если две прямые l1 и l2 лежат на плоскости, то возможны три различных случая их взаимного расположения: 1)пересекаются (т.е. имеют одну общую точку); 2) параллельны и не совпадают; 3) совпадают. Если прямые l1 и l2 пересекаются в некоторой точке М(х,у), то координаты этой точки должны удовлетворять обоимуравнениям системы (12).
Следовательно, чтобы найти координаты точки пересечения прямых l1 и l2, надо решить систему уравнений (12): 
1) если система (12) имеет единственное решение, то прямые l1 и l2 пересекаются; 
2) если система (12) не имеет решения, то прямые l1 и l2 параллельны; 
3) если система (12) имеет множество решений, то прямые l1 и l2 совпадают
Взаимное...