Типовой расчет

Вариант № 1
В задачах 1…9 найти неопределённые интегралы, ответ проверить дифференцированием.
1. [pic].
Проверка: [pic].
Ответ: [pic].
2. [pic]. Интегрируем по частям: [pic].[pic][pic]. Проверка: [pic] [pic].
Ответ: [pic].
3. [pic] [pic][pic][pic].
Проверка: [pic] [pic][pic]
[pic]
[pic].
Ответ: [pic].
4. [pic]. Выделяем целую часть дроби и разлагаем дробную частьна простые дроби. [pic]
[pic]. Полагаем [pic], получим [pic]. Из равенства [pic] следует [pic]. Приравнивая коэффициенты при [pic], получим [pic]. Или [pic]. Таким образом, [pic]
Проверка: [pic].Ответ: [pic].
5. [pic]. Вычисляем интеграл с помощью предварительных преобразований. [pic][pic][pic].
Проверка: [pic][pic][pic].
Ответ: [pic].
6. [pic]. Сначала делаем замену переменной,затем интегрируем по частям. [pic][pic].
Проверка: [pic][pic][pic]. Ответ: [pic].
7. [pic]. Интегрируем по частям. [pic].
Проверка: [pic] [pic]. Ответ: [pic].
8. [pic]. Интегрируем послепредварительных преобразований.
[pic] [pic].
Проверка: [pic] [pic].
Ответ: [pic].
9. [pic]. Интегрируем с помощью замены переменной. [pic] [pic].
Проверка: [pic] [pic].
Ответ: [pic].
Задачи 10-11. Вычислитенесобственные интегралы или установите их расходимость.
10. [pic] [pic]. Интеграл сходится. Ответ: [pic]. Интеграл сходится.
11. [pic] [pic][pic][pic]. Бесконечно большие величины могут бытьразного порядка в зависимости от соотношения скорости стремления к нулю бесконечно малых величин [pic]. Поэтому интеграл расходится.
Ответ: [pic]. Интеграл расходится.
Задачи 12-13. Вычислите площадь фигуры,ограниченной линиями.
12. [pic]. Найдём точки пересечения линий: [pic].
Тогда [pic][pic]. Ответ: [pic].
13. [pic]. Это трёхлепестковая роза и окружность. Найдём точки пересечения линий:[pic][pic]. Вычислим площадь для одного лепестка и утроим её: [pic][pic][pic]. Ответ: [pic].
14. Вычислите длину дуги кривой (L):[pic] (циклоида).
[pic][pic].
Ответ: [pic]....