Типовой расчет

Федеральное агентство по образованию
Южно-Уральский государственный университет
Юридический факультет

Типовой расчет
по математике
Вариант 6

Руководитель:
Москвичева Полина Олеговна

Автор работы:
Студент группы Ю-132
ЕлисееваЕ.А.

ЧЕЛЯБИНСК
2013
Задача 1. В магазин поступило40 телевизоров, причем 15 из них фирмы«LG».Найти вероятность того, что среди пяти проданных телевизоров 3 окажутся фирмы«LG».
Р(А) = mn, где n-общее число исходов; m- число исходов, благоприятствующих по событию А.
А - среди 5 проданных телевизоров, 3 откажутся фирмы LG.
n = C540 = 40!5!*40-5! = 40!5!*35! = 36*37*38*39*401*2*3*4*5 = 658008m = C315 * C225 = 15!3!*15-3! * 25!25-2!*2! = 15!3!*12! * 25!2!*23! = 13*14*151*2*3 * 24*251*2 = 136 500
тогда, Р(А) = mn = 136500658008 ≈ 0,21

Ответ: Р(А) ≈ 0,21
Задача 2. Бросают3 игральные кости. Найти вероятность того, что на всех верхних гранях выпадут нечетные числа.
Р(А) = mn
А- на всех верхних гранях выпадут нечетные числа.
n = 6*6*6 = 216
m= 3*3*3 = 27 ((1;1;1); (1;1;3);(1;3;1); (3;1;1); и т.д.)
тогда, Р(А) = mn = 27216 = 324 = 18
Ответ: Р(А) = 18
Задача 3. Слово«КАЛЬКУЛЯТОР» разрезано по буквам на карточки. Затем карточки перемешивают и вынимают без возвращения по одной. Найти вероятность того, что карточки в порядке появления образуют слово а) КАЛЬКУЛЯТОР, б) КУЛАК.
Р(А) = mn
а) А - образуется слово КАЛЬКУЛЯТОР.
n = 11!2!*2! =3*4*5*6*7*8*9*10*112 = 9 979 200
тогда, Р(А) = mn = 19 979 200 ≈ 0,0000001
б) В – образуется слово КУЛАК.
Р(В) = 211 * 110 * 29 * 18 * 17 ≈ 0,00007
Ответ: Р(А) ≈ 10-7
Р(В) ≈ 7 *10-5
Задача 4. В урне содержится 8 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них:
а) 3 белых шара;
б) менее трех белых шаров;
в) хотя бы 1 белый шар.Воспользуемся формулой Бернулли: Pn(m) = Cnm * pm * qn-m
n = 5 (число испытаний, т.е число вынутых шаров)
P = 66+8 = 614 = 37 (вероятность успеха, вероятность появления белого шара)
q = 1-p = 1- 37 = 47
m = 3 (число успехов, число белых шаров среди вынутых)
а) P5(3) = C53 * (37)3 * (47)2 = 5!3!*2! * 27343 * 1649 * 4*5*27*162*343*49 ≈ 0,26
б) m <3
P = (m <3) = P5(0) + P5(1) + P5(2) = C50* (37)0 * (47)5 + C51 * (37)1 * (47)4 + C52 * (37)2 * (47)3 = 1 * 1 * 102416807 + 5 * 37 * 2562401 + 5!2!*3! * 949 * 64343 = 102416807 + 384016807 + 576016807 ≈ 0,63
в) m ≥ 1
P5(m ≥ 1) = 1 - P5(0) = 1 - C50 * (37)0 * (47)5 = 1 - 102416807 = 1578316807 ≈ 0,94
Ответ: а) P5(3) ≈ 0,26
б) P5(m <3) ≈ 0,63
в) P5(m ≥ 1) ≈ 0,94
Задача 5. Вероятность появления события А в одномиспытании равна0,1. Вычислить вероятности следующих событий:
а) событие А наступит5 раз в серии из7 независимых испытаний;
б) событие А наступит не менее150 и не более170 раз в серии из530 независимых испытаний.
Дано: p=0,1; q=1-p=1-0,1=0,9
а) n = 7; m = 5
Воспользуемся формулой Бернулли: Pn(m) = Cnm * pm * qn-m
P7(5) = C75 * (0,1)5 * (0,9)7-5 = 7!5!*2! * 0,00001 * 0,81 = 0,00017
б) n = 530;150 ≤ m ≤170

Воспользуемся интегральной формулой Муавра - Лапласа
Pn (m1 ≤ m ≤ m2) = φ(x2) - φ(x1), где x1 = m1-npnpq; x2 = m2-npnpq
x1 = 150-530*0,1530*0,1*0,9 = 976,9 ≈ 14,06; x2 = 170-530*0,1530*0,1*0,9 = 1176,9 ≈ 16,95
P530 (150 ≤ m ≤ 170) = φ(16,95) – φ(14,06) =(по таблице) 0,5 – 0,5 = 0
Ответ: а) P7(5) = 0,00017; P530(150≤m≤170) = 0.
Задача 6. Вероятность того, что изделиебракованное, равна0,05. Найти вероятность того, что среди1000 изделий ровно 40 бракованных.
Дано p = 0,05; n = 1000; m = 40.
Воспользуемся интегральной формулой Муавра – Лапласа:
Pn (m) = 1npq *φ(x), где x = m-npnpq;
q = 1 – p = 1 – 0,05 = 0,95
x = m-npnpq = 40-1000*0,051000*0,05*0,95 = -106,89 = -1,45
по таблице φ(-1,45) = 0,1394, тогда P1000 (40) = 11000*0,05*0,95 * 0,1394 =...