типовой расчет

Типовой расчёт

Методы оптимальных решений


Образец решения типового расчёта
Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: .
Решение. Очевидно,аналитическое выражение, задающее данную функцию, имеет смысл тогда и только тогда, когда знаменатель дроби не равен нулю: . Уравнение задаёт на координатной плоскости параболу , вершина которойнаходится в точке , ветви направлены влево, а осью симметрии является ось абсцисс. Таким образом, областью определения данной функции являются все точки координатной плоскости, кроме тех, что лежат на параболе .Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1. .
Решение. .
2.2. .
Решение. .
2.3. .
Решение. .
Задание 3. Найти все частные производные второго порядкафункции двух переменных: .
Решение. Сначала найдём частные производные первого порядка:
.
Теперь находим производные второго порядка по переменным и :
.
Находим смешанные производные:
.
Задание 4.Найти производную функции в точке по направлению вектора .
Решение. Производная функции по направлению вектора равна:
, где направляющие косинусы вектора .
Находим частные производные даннойфункции:
.
Находим значения частных производных в точке :

.
Находим направляющие косинусы вектора :
.
Окончательно получим:
.

Задание 5. Найти градиент функции в точке.
Решение. Градиент функциидвух переменных равен .
Найдём частные производные:
.
Найдём значения частных производных в точке :
.
Тогда градиент равен .


Вариант № 2

Задание 1. Найти и изобразить на плоскости областьопределения функции двух переменных: .

Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1. ; 2.2. ; 2.3. .
Задание 3. Найти все частные производные второго порядкафункции двух переменных: .
Задание 4. Найти производную функции в точке по направлению вектора .
Задание 5. Найти градиент функции в точке.
Задание 6. Найти...