Уравнения колмогорова

  • 02 апр. 2012 г.
  • 5775 Слова
Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояний
Рассмотрим математическое описание Марковского процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем на примере случайного процесса из задачи 1, граф которого изображен на рис. 1. Будем полагать, что все переходы системы из состояния Si в Sj происходят под воздействием простейших потоков событий с интенсивностями lij(i, j=0,1,2,3); так,переход системы из состояния S0 в S1 будет происходить под воздействием потока отказов первого узла, а обратный переход из состояния S1 в S0 — под воздействием потока «окончаний ремонтов» первого узла и т.п. 
Граф состояний системы с проставленными у стрелок интенсивностями будем называть размеченным (см. рис. 1). Рассматриваемая система S имеет четыре возможных состояния: S0, S1, S2, S3. Вероятностью i-го состояния называется вероятность pi(t) того, что в момент t система будет находиться в состоянии Si. Очевидно, что для любого момента t сумма вероятностей всех состояний равна единице: 
[pic].                                                                   (8) 
Рассмотрим систему в момент t и, задав малый промежуток Dt, найдем вероятность p0(t+Dt) того, что система вмомент t+ Dt будет находиться в состоянии S0. Это достигается разными способами. 
1. Система в момент t с вероятностью p0(t) находилась в состоянии S0, а за время Dt не вышла из него.
Вывести систему из этого состояния (см. граф на рис. 1) можно суммарным простейшим потоком с интенсивностью (l01+l02), т.е. в соответствии с (15.7), с вероятностью, приближенно равной (l01+l02)Dt. А вероятность того, что система не выйдет изсостояния S0, равна [1-(l01+l02)Dt]. Вероятность того, что система будет находиться в состоянии S0, по первому способу (т.е. того, что находилась в состоянии S0 и не выйдет из него за время Dt), равна по теореме умножения вероятностей: 
[pic]. 
2. Система в момент t с вероятностями р1(t) (или p2(t)) находилась в состоянии S1 или S2 и за время Dt перешла в состояние S0. 
Потоком интенсивностью l10 (илиl 20 — см. рис. 1) система перейдет в состояние S0 с вероятностью, приближенно равной l10Dt (или l20Dt). Вероятность того, что система будет находиться в состоянии S0 по этому способу, равна р1(t)×l10Dt (или р2(t)×l20Dt). 
Применяя теорему сложения вероятностей, получим 
[pic], 
откуда 
[pic], 
Переходя к пределу при Dt®0 (приближенные равенства, связанные с применением формулы (7), перейдутв точные), получим в левой части уравнения производную p’0(t) (обозначим ее для простоты p’0): 
[pic]. 
Получили дифференциальное уравнение первого порядка, т.е. уравнение, содержащее как саму неизвестную функцию, так и еепроизводную первого порядка. 
Рассуждая аналогично для других состояний системы S, можно получить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний: [pic]                                                 (9) 
Сформулируем правило составления уравнений Колмогорова. В левой части каждого из них стоит производная вероятности i-го состояния. В правой части — сумма произведений вероятностей всех состояний (из которых идут стрелки в данное состояние) на интенсивности соответствующих потоков событий, минус суммарная интенсивность всех потоков,выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность данного (i-го состояния). 
В системе (9) независимых уравнений на единицу меньше общего числа уравнений. Поэтому для решения системы необходимо добавить уравнение (8). 
Особенность решения дифференциальных уравнений вообще состоит в том, что требуется задать так называемые начальные условия, т.е. в данном, случае вероятности состоянийсистемы в начальный момент t = 0. Так, например, систему уравнений (9) естественно решать при условии, что в начальный момент оба узла исправны и система находилась в состоянии S0, т.е. при начальных условиях p0(0)=1, p1(0)=p2(0)=p3(0)=0. 
Уравнения Колмогорова дают возможность найти все вероятности состояний как функции времени. Особый интерес представляют вероятности...
tracking img