Уравнения в частных производных

  • 05 окт. 2011 г.
  • 2068 Слова
Содержание

1. Постановка задачи. Граничные и начальные условия.…………………..………… 2
2. Физический смысл уравнения……………………………………………………….. 2
3. Решение задачи методом Фурье……………………………………………………... 4
4. Результаты численных экспериментов………………………………………….…… 9
5. Листинг программы…………………………………………………………………... 17

Постановка задачи.

Методом Фурье решить начальную краевуюзадачу для волнового уравнения,
в одномерном случае. С условиями: на левом конце – условие Дирихле, на правом конце – условие Неймана.

Utt''- a2Uxx''=0 0≤x≤l, t>0 (1)
Ux,0= φx -начальные условия (2)
Ut'x,0= ψx
U0,t=Ux'l,t=0 - граничные условия (3)

Физический смысл уравнения.

Уравнение (1) , этоволновое уравнение – уравнение колебаний струны.
В одномерном случаи:
При d=1, то уравнение (1) имеет вид : – частный случай. где - коэффициент упругости
Пусть имеется упругая струна, совершающая колебания под действием внешней силы F.
Функция описывает положение струны в момент времени в точке .Y
X
t=t0

Если d=2, , то уравнение (1) имеет вид :
- уравнение колебания мембраны.

Z

Y
X

Если d=3, то волновое уравнение описывает:
1) процессы распространения звука в однородной среде;
2) процессы распространения электромагнитных волн в непроводящей среде.

При граничных условиях (3), уравнение (1) описываетколебания струны. У которой один конец закреплен, другой свободен, т.е в любой момент времени t. На свободном конце x=l, натяжение T=ESdudx (E- модуль упругости материала струны; S-площадь поперечного сечения струны) равно нулю (нет внешних сил) и, следовательно, Ux'l,t=0.

Решение задачи методом Фурье.
Требуется найти решение уравнения
Utt''- a2Uxx''=0 (1)
удовлетворяющее:
начальным условиям:Ux,0= φx (2)
Ut'x,0= ψx
и граничным условиям:
U0,t=Ux'l,t=0 (3)

Будем искать (не равное тождественно нулю) частное решения уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям (2) и граничным условиям (3), в виде
u (x, t) = X (x) T (t).
Подставляя в уравнение (1), получаем:
X (x) T′′(t) = a2 X′′(x) T(t).
Разделивпеременные получим:
T''a2T= X''X
В левой части этого равенства стоит функция, которая не зависит от x, справа – функция, не зависящая от t.
=> левая и правая части не зависят ни от x, ни от t, т. е. равны постоянному числу. Обозначим его через – λ, где λ > 0. Получим следующее уравнение:
T''a2T= X''X=- λ
Из этих равенств получаем два уравнения:

X''+ λX=0 (3)
T''+a2 λT=0(4)

Подставив в уравнение u (x, t) = X (x) T (t) граничные условия, получаем
U0,t=X0Tt=0=>X0=0
Ux'l,t=X'lTt=0=>X'l=0
Откуда получим спектральную задачу Штурма -Лиувиля.
X''+ λX=0 (3)
T''+a2 λT=0 (4)
X0=X'(l) (5)

Решаем задачу (3):
Xx=C1cosλx+C2sin⁡(λx)X0=C1cosλ0+C2sinλ0 ⟹X0=C1 ⟹ C1=0
Xx=C2sinλx
Пусть C2=1 , тогда Xx=sinλx
X'x=cosλx
т.к X'l=0⟹cosλx=0
получаем:
λk=(2k+1)π2l2
xk=sin(2k+1)πx2l

Решаем задачу (4):

T0(t)=a0+b0t , при λ=0, a0,b0-const
Tt=c1cos(ta2λ)+c2sin(ta2λ)
При c1=ak , c2=bk, λk=(2k+1)π2l2

Tkt=akcos((2k+1)πat2l)+bksin((2k+1)πat2l)
где ak,bk произвольные постоянные.
Функция Ukx,t=XkxTk(t) имеет вид:Ukx,t=akcos((2k+1)πat2l)+bksin((2k+1)πat2l) sin(2k+1)πx2l
U0x,t=a0+b0t sinπx2l
Ukx,t удовлетворяет (1)-(3), значит следующий ряд является решением уравнения:
Ux,t=(a0+b0t)sinπx2l+k=1∞Ukx,t
Ux,t=(a0+b0t)sinπx2l+k=1∞akcos((2k+1)πat2l)+bksin((2k+1)πat2l) sin(2k+1)πx2l
т. к Ux,0= φx, то
Ux,0=k=0∞ak sin(2k+1)πx2l=φx
Это разложение функции в ряд Фурье по: sin(2k+1)πx2l
т.к Ut'x,0=...
tracking img