Фигня

  • 01 апр. 2012 г.
  • 1020 Слова
СХЕМА ПОЛНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ

1. Найти область определения функции.
2. Исследовать четность и периодичность функции.
3. Исследовать точки разрыва, найти вертикальные асимптоты.
4. Найти наклонные асимптоты (если их существование возможно).
5. Найти точки пересечения графика с осями координат.
6. Найти [pic]. Определить точки экстремума, интервалы возрастания и убывания функции.7. Найти [pic]. Определить точки перегиба графика, интервалы его выпуклости и вогнутости.
8. Построить график функции.


ПРИМЕРЫ

ПРИМЕР 1. Провести полное исследование и построить график функции [pic].

1) Область определения функции [pic]ℝ[pic].


2) Область определения функции симметрична относительно начала координат и

[pic][pic][pic].
Следовательно,функция четная, и ее график симметричен относительно оси [pic].

3) Функция имеет две точки разрыва: [pic] и [pic]. Определим тип разрывов:
[pic]
[pic][pic],
[pic]
[pic][pic].
Итак, точка [pic] является точкой разрыва II рода, прямая [pic] – вертикальная асимптота графика функции.
Учитывая симметрию графика функции относительно оси [pic], для точки [pic] получаем:
[pic] и[pic].
Следовательно, точка [pic] тоже является точкой разрыва II рода, прямая [pic] – вертикальная асимптота графика функции.

4) Функция определена при сколь угодно больших [pic]. Следовательно, возможно существование наклонных асимптот. При [pic] имеем:
[pic],
[pic].
Следовательно, прямая [pic] (т.е. прямая [pic]) является наклонной асимптотой правой части графикафункции. Та же прямая [pic] будет наклонной асимптотой и для левой части графика функции (так как график функции симметричен относительно оси [pic]).

5) Найдем точки пересечения графика с осями координат. Пересечение с осью [pic]:
[pic] ⇒ [pic], ⇒ [pic][pic],
⇒ [pic]
Пересечение с осью [pic]:
[pic] ⇒ [pic]
Следовательно, график функции пересекает обекоординатные оси в начале координат [pic].

6) Найдем производную функции и критические точки первого рода. Имеем:
[pic],
⇒ а) [pic] при [pic]; б) [pic] при [pic].
Таким образом, критической точкой первого рода является только точка [pic].
Критическая точка [pic] и точки разрыва [pic] разбивают область определения функции на четыре части. Определим знакпроизводной в каждой из них. Получим:
[pic]
Следовательно, функция возрастает на интервалах [pic] и [pic], функция убывает на интервалах [pic] и [pic]. Точка [pic] – точка максимума. Максимум функции:
[pic].

7) Найдем вторую производную функции и критические точки второго рода. Имеем:
[pic],
⇒ а) [pic] при [pic]; б) [pic] при [pic].
Таким образом,критических точек второго рода функция не имеет. Значит, график функции не имеет точек перегиба.
Точки разрыва [pic] разбивают область определения функции на три части. Определим знак второй производной в каждой из них. Получим:
[pic]
Следовательно, график функции выпуклый на интервале [pic], график функции вогнутый на интервалах [pic] и [pic].

8) На основании проведенногоисследования строим следующий график:
[pic]
ПРИМЕР 2. Провести полное исследование и построить график функции [pic].

1) Область определения функции [pic]ℝ.


2) Область определения функции симметрична относительно начала координат, но

[pic][pic][pic],
⇒ [pic] и [pic].
Следовательно, функция общего вида и ее график не является симметричным относительно оси [pic] или началакоординат.

3) Функция не имеет точек разрыва. Следовательно, график функции не имеет вертикальных асимптот.

4) Функция определена при сколь угодно больших [pic]. Следовательно, возможно существование наклонных асимптот. При [pic] имеем:
[pic],
[pic]
[pic].
Следовательно, прямая [pic] является наклонной асимптотой правой части графика...
tracking img