МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Самарский государственный технический университет»
(ФГБОУ ВПО «СамГТУ»)
Реферат на тему:
«Численное дифференцирование. Производные и конечные разности.
Вычисление производных с помощью программ интерполяции и
аппроксимации. Погрешность методов.Примеры»
Выполнил: студент гр. 1М
Колесникова Е Ю.
Проверил: д.ф.-м.н., профессор
Астафьев Владимир Иванович
Самара, 2017 г.
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................3
1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ПО ЕЁ ОПРЕДЕЛЕНИЮ............4
2. КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД АППРОКСИМАЦИИПРОИЗВОДНЫХ....................................................................................6
3. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО МНОГОЧЛЕНА
ЛАГРАНЖА ДЛЯ АППРОКСИМАЦИИ ПРОИЗВОДНЫХ .............8
4. ВЫБОР ОПТИМАЛЬНОГО ШАГА ЧИСЛЕННОГО
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ. ПОГРЕШНОСТЬ..................................12
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.........................................................................................13
ВВЕДЕНИЕ
Задача численногодифференцирования состоит в приближенном вычислении производной функции у=f(x) по заданным в конечном числе точек значениям этой функции.
К численному дифференцированию (ЧД) прибегают тогда, когда приходится вычислять производные для функций, заданных таблично, или когда непосредственное дифференцирование y = f(x) затруднительно.
Формулы для расчета производной в точке x области определения функции получают посредствомаппроксимации оператора дифференцирования интерполяционными многочленами как локальной, так и глобальной интерполяции. А именно, берутся несколько близких к исследуемой точке x узлов
x1, x2,…, xn (n ³ m + 1),
называемых «шаблоном». Вычисляются значения yi = f(xi) в узлах шаблона, и строится интерполяционный многочлен.
Для получения рабочих формул численного дифференцирования с точки зрения упрощенияих реализации интерполирование производится на равномерной сетке, и производные обычно находятся в узлах xi с соответствующей оценкой их погрешностей. При n = m + 1 формулы ЧД не зависят от положения точки x внутри шаблона, так как m-я производная от полинома m-й степени есть константа. Такие формулы называются простейшими формулами ЧД.
Рассмотрим численные методы вычисления производной по ееопределению, а также метод конечно-разностной аппроксимации производных, применение интерполяционного многочлена Лагранжа для аппроксимации производных.
1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ПО ЕЁ ОПРЕДЕЛЕНИЮ
Пусть функция у=f(x) определена в окрестности точки х0 и имеет производную в этой точке, т.е. существует предел отношения приращения функции у к приращению аргумента х при х →0:
(х0)=(х0)=, х=х-х0,у=f(x0+х)-f(x0). (1)
Значение производной в точке х0 можно получить, переходя к переделу в (6.1) по последовательности целых чисел п и полагая, например х=(х)п=(х)0/ап, (х)0 – некоторое начальное приращения аргумента, а – некоторое число (a>1), п =0, 1, …. Тогда значение производной в точке х0 можно записать:
(х0)=(х0)=, (у)п=f(x0+(х)п)-f(x0), (2)
отсюда
(х0). (3)
Если функция у=f(x) в окрестности точки х0имеет непрерывную производную до второго порядка включительно, то точность приближения производной соотношением (6.2) можно установить, воспользовавшись формулой Тейлора
,
Тогда
.
И окончательно имеем
, . (4)
При практических вычислениях производной с заданной точность удобно пользоваться формулой
. (5)
Пример 1. Вычислить производную функции y=sin x в точке х0=π/3 с точность ε=10-3 (π/3=1,047198…).
Положим (х)=0,1; а=10; (х)п=0,1∙10-п, откуда
.
Определим приближенное значение производной:
; п=0, 1, 2, …
Найдем отношения аппроксимирующие производную:
0,45590189;
0,49566158; 0,03975969;
=0,49956690; =0,00390532;
=0,49995670; =0,00038979390 < ε.
Итак, начиная с третьего приближения, в соответствии с оценкой (3), получаем...
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Самарский государственный технический университет»
(ФГБОУ ВПО «СамГТУ»)
Реферат на тему:
«Численное дифференцирование. Производные и конечные разности.
Вычисление производных с помощью программ интерполяции и
аппроксимации. Погрешность методов.Примеры»
Выполнил: студент гр. 1М
Колесникова Е Ю.
Проверил: д.ф.-м.н., профессор
Астафьев Владимир Иванович
Самара, 2017 г.
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................3
1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ПО ЕЁ ОПРЕДЕЛЕНИЮ............4
2. КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД АППРОКСИМАЦИИПРОИЗВОДНЫХ....................................................................................6
3. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО МНОГОЧЛЕНА
ЛАГРАНЖА ДЛЯ АППРОКСИМАЦИИ ПРОИЗВОДНЫХ .............8
4. ВЫБОР ОПТИМАЛЬНОГО ШАГА ЧИСЛЕННОГО
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ. ПОГРЕШНОСТЬ..................................12
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.........................................................................................13
ВВЕДЕНИЕ
Задача численногодифференцирования состоит в приближенном вычислении производной функции у=f(x) по заданным в конечном числе точек значениям этой функции.
К численному дифференцированию (ЧД) прибегают тогда, когда приходится вычислять производные для функций, заданных таблично, или когда непосредственное дифференцирование y = f(x) затруднительно.
Формулы для расчета производной в точке x области определения функции получают посредствомаппроксимации оператора дифференцирования интерполяционными многочленами как локальной, так и глобальной интерполяции. А именно, берутся несколько близких к исследуемой точке x узлов
x1, x2,…, xn (n ³ m + 1),
называемых «шаблоном». Вычисляются значения yi = f(xi) в узлах шаблона, и строится интерполяционный многочлен.
Для получения рабочих формул численного дифференцирования с точки зрения упрощенияих реализации интерполирование производится на равномерной сетке, и производные обычно находятся в узлах xi с соответствующей оценкой их погрешностей. При n = m + 1 формулы ЧД не зависят от положения точки x внутри шаблона, так как m-я производная от полинома m-й степени есть константа. Такие формулы называются простейшими формулами ЧД.
Рассмотрим численные методы вычисления производной по ееопределению, а также метод конечно-разностной аппроксимации производных, применение интерполяционного многочлена Лагранжа для аппроксимации производных.
1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ПО ЕЁ ОПРЕДЕЛЕНИЮ
Пусть функция у=f(x) определена в окрестности точки х0 и имеет производную в этой точке, т.е. существует предел отношения приращения функции у к приращению аргумента х при х →0:
(х0)=(х0)=, х=х-х0,у=f(x0+х)-f(x0). (1)
Значение производной в точке х0 можно получить, переходя к переделу в (6.1) по последовательности целых чисел п и полагая, например х=(х)п=(х)0/ап, (х)0 – некоторое начальное приращения аргумента, а – некоторое число (a>1), п =0, 1, …. Тогда значение производной в точке х0 можно записать:
(х0)=(х0)=, (у)п=f(x0+(х)п)-f(x0), (2)
отсюда
(х0). (3)
Если функция у=f(x) в окрестности точки х0имеет непрерывную производную до второго порядка включительно, то точность приближения производной соотношением (6.2) можно установить, воспользовавшись формулой Тейлора
,
Тогда
.
И окончательно имеем
, . (4)
При практических вычислениях производной с заданной точность удобно пользоваться формулой
. (5)
Пример 1. Вычислить производную функции y=sin x в точке х0=π/3 с точность ε=10-3 (π/3=1,047198…).
Положим (х)=0,1; а=10; (х)п=0,1∙10-п, откуда
.
Определим приближенное значение производной:
; п=0, 1, 2, …
Найдем отношения аппроксимирующие производную:
0,45590189;
0,49566158; 0,03975969;
=0,49956690; =0,00390532;
=0,49995670; =0,00038979390 < ε.
Итак, начиная с третьего приближения, в соответствии с оценкой (3), получаем...
Поделиться рефератом
Расскажи своим однокурсникам об этом материале и вообще о СкачатьРеферат