Численное дифференцирование степенной функции

  • 17 янв. 2013 г.
  • 2288 Слова
Численное дифференцирование степенной функции

Описание
По определению производной функции f(х) в точке х является предел отношения:
(1)
Замена производной [pic] некоторым отношением [pic] дает приближенное значение [pic], причем тем точнее, чем меньше [pic].
Рассмотрим несколько способов построения отношения [pic], сравним результаты с аналитической формулой и проанализируемпогрешность аппроксимации (погрешность приближения) в зависимости от выбора формулы и значения [pic].
Для этого разделим отрезок [pic] точками [pic] на n равных частей так, что [pic] (рис. 32) и[pic] (2)







Рис. 32


Точки [pic] образуют сетку, каждая точка [pic] называется узлом или точкой сетки, а величина h - шагом сетки. Тогда
[pic], где [pic] (3)
Соседние узлысетки определяются по формулам
[pic], [pic]
Значения функции в узлах обозначим как [pic].
Заменив производную [pic] конечной разностью
[pic], [pic] (4)
получим правую разностную производную, которая определена во всех узлах сетки, кроме последнего узла - правой границы отрезка.
Аналогично, заменив производную [pic] конечной разностью
[pic], [pic], (5)
получим левую разностнуюпроизводную, которая определена во всех узлах сетки, кроме нулевого, совпадающего с левой границей отрезка.
Во внутренних точках сетки рассмотрим центральную разностную производную по формуле
[pic], [pic]. (6)
Сравним все три разностные производные с производной, вычисленной по аналитической формуле. Для этого рассмотрим для каждой разностной производной погрешность приближения,называемую также погрешностью аппроксимации
[pic], [pic]. (7)
Чтобы оценить величину погрешности аппроксимации, разложим функцию [pic] в ряд Тейлора в зафиксированной точке [pic]:
[pic], (8)
[pic]. (9)
Из формулы (8), используя введенные обозначения, получим формулу
[pic]
Разделив на h и используя (4), придем к выражению
[pic], [pic]. (10)
Правая часть формулы(10) стремится к нулю при [pic], т.е. является бесконечно малой функцией. Тогда при достаточно малых h для погрешности аппроксимации производной правой разностной производной можно сделать оценку
[pic], [pic] (11)
где [pic] - некоторая постоянная, зависящая от вида функции [pic] и не зависящая от величины шага сетки h.
Аналогично из формулы (9) получим оценку
[pic], [pic]. (12)Вычитая из формулы (8) формулу (9) и поделив полученное выражение на 2h, получим формулу
[pic], [pic],
откуда
[pic], [pic]. (13)
Исходя из полученных формул, можно сделать следующие выводы:
1) с уменьшением шага каждая разностная производная будет точнее описывать производную, хотя для расчета производной на всем интервале потребуется сетка с большим числом узлов;
2) так какдать приближенное значение производной в обеих граничных точках ни одна формула не может, то, чтобы рассчитать производную на каком-то отрезке [pic], нужно рассмотреть отрезок [pic], включающий [pic], т.е. [pic];
3) на основе оценок (11), (12) формулы правой и левой разностной производной считаются формулами первого порядка точности по h, т.е., используя O символику можно записать
[pic],[pic], (14)
а формула центральной разностной производной на основе оценки (13) считается формулой второго порядка точности по h:
[pic], (15)
тем самым более точными.


Возьмем некоторую функцию из таблицы производных, например, функцию
[pic], (16)
рассчитаем приближенно ее производную различными способами на отрезке [pic] в 10 точках: 0,1;0,2; 0,3; ... 0,9; 1,0 и сравним с производной, вычисленной аналитически. Чтобы рассчитать разностные производные по всем трем формулам в конечных точках отрезка, надо рассмотреть больший отрезок (см. вывод 2 Описания). Для этого рассмотрим отрезок [pic]. Разобьем его на 11 одинаковых интервалов, получим равномерную сетку с шагом h =0.1, в узлах которой построим разностные производные...
tracking img