Численные методы

  • 01 июня 2013 г.
  • 1219 Слова
Министерство образования и науки Российской Федерации
ФГАОУ ВПО Северо-Восточный Федеральный университет имени
М.К. Аммосова
Институт математики и информатики

Исторические сведения о
численных методах

Якутск 2012
В 1818 году Фурье исследовал вопрос об условиях применимости разработанного Исааком Ньютоном метода численного решения уравнений, не зная об аналогичных результатах,полученных в 1768 году французским математиком Ж. Р. Мурайлем. Итогом работ Фурье по численным методам решения уравнений является "Анализ определённых уравнений", изданный посмертно в 1831 году. 
Основной областью занятий Жана Фурье была математическая физика. В 1807 и 1811 годах он представил Парижской АН свои первые открытия по теории распространения тепла в твёрдом теле, а в 1822 году опубликовал работу"Аналитическая теория тепла", сыгравшую большую роль в последующей истории математики. В ней Фурье вывел дифференциальное уравнение теплопроводности и развил идеи, в самых общих чертах намеченные ранее Даниилом Бернулли, разработал для решения уравнения теплопроводности при тех или иных заданных граничных условиях метод разделения переменных (Фурье метод), который он применял к ряду частных случаев (куб,цилиндр и др.). В основе этого метода лежит представление функций тригонометрическими рядами Фурье, которые хотя и рассматривались иногда ранее, но стали действенным и важным орудием математической физики только у Фурье. Метод разделения переменных получил дальнейшее развитие в трудах С. Пуассона, Михаила Васильевича Остроградского и других математиков 19 века.
Численные методы решенияобыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). В XVII трудами И. Ньютона, Я. Бернулли, Г.В. Лейбница, И. Бернулли, Д.Ф. Риккати, А. Фонтен де Бертена и других были заложены основы теории исследования ОДУ. В качестве универсального способа их решения были использованы разложения интегралов уравнений в бесконечные степенные ряды. Методы решения ОДУ находят свое развитие в исследованиях Я. Германа, Х. Гольдбаха, А.К.Клеро, А.Н. Крылова, Л. Эйлера, Ж.Н. Л. Даламбером, А.М. Лежандром, А.И. Лекселя, А.В. Летникова, А.М. Ляпунова и других. Одной из основных областей естествознания, требовавшей быстрого развития приближенных методов были ОДУ, основы которых были заложены в работах Б. Тейлора, Л. Эйлера, П.С. Лапласа, Д.К. Адамса, А. Пуанкаре, К.Д.Т. Рунге, А.Н. Крылова, М.В. Кутты, Б.Г. Галеркина и других.
Через ОДУ шлиприложения нового исчисления к задачам геометрии и механики; при этом удалось решить задачи, которые в течение долгого времени не поддавались решению. В небесной механике оказалось возможным не только получить и объяснить уже известные факты, но и сделать новые. В настоящее время ОДУ находят широкое применение в физике, химии, баллистике, биологии, экономике и др., для которых разработаны эффективныечисленные методы нахождения приближенных решений, которые представляют собой конструктивные вычислительные алгоритмы вычислений с эффективными оценками точности.
Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. Зарождение и развитие теории дифференциальных уравнений в частных производных было связано с расширением в XVIII в. круга приложений математического анализа сзадачами небесной механики, гидродинамики, физики упругих тел и др. Основы теории и практики исследования уравнений в частных производных были заложены Я. Германом, Б. Тейлором, Д. Бернулли, Л. Эйлером, Ж.Л. Даламбером, Ж.Л. Лагранжом, Г. Монжем, П.С. Лапласом, А.М. Лежандром, С.Д. Пуассоном, Н.Е. Зерновым, Г.Ф.Б. Риманом, В.Г. Имшенецким. Дальнейшее развитие теория уравнений в частных производных находит своеразвитие в исследованиях Н.Е. Жуковского, С.В. Ковалевской, А.Н. Крылова, О.Э.Х. Лява, В.А. Стеклова, Н.М. Гюнтера, Л. Прандтля, Э. Шредингера, Р. Куранта, М.А. Лаврентьева, С.Л. Соболева, А.Н. Тихонова, М.В. Келдыша и других.
Среди основополагающих научных результатов, сыгравших важную роль в развитии конечно-разностных методов решения уравнений в...
tracking img