Числовые Ряды

  • 17 янв. 2014 г.
  • 2757 Слова
18. Теория рядов.
18.1. Числовые ряды.
18.1.1. Основные определения. Пусть дана бесконечная числовая последовательность [pic].
Числовым рядом называется составленная из членов этой последовательности запись
[pic]. (18.1.1)
Эквивалентная (18.1.1) форма записи ряда - с применением символа суммы: [pic].
Числа [pic] называют членами ряда; [pic], называется общимчленом ряда. В результате вычисления значений этой функции при n=1, n=2, n=3, … должны получаться члены ряда [pic].
Примеры. 1. Пусть [pic]. Записать ряд.
При n=1 получаем [pic], при n=2 [pic], при n=3 [pic] и т.д., ряд имеет вид [pic].
2. Пусть ряд имеет вид [pic]. Придумать формулу общего члена.
Эта задача имеет много решений, мы придумаем одно из них. Числители растутлинейно с n с шагом 2, поэтому в формуле для числителя должно содержаться 2n. Подбором убеждаемся, что для числителей верна формула 2n-1 (=1 при n =1, 3 при n =2 и т.д.). Также подбором убеждаемся, что для знаменателей можно взять формулу [pic], поэтому [pic]. Если нумерацию членов ряда начать с n = 0, то [pic].
Основным понятием теории рядов является понятие сходимости числового ряда. Пустьдан ряд (18.1.1). Составим из его членов конечные суммы, называемые частичными суммами ряда: [pic]

Определение. Если существует конечный предел S последовательности частичных сумм ряда (18.1.1) при [pic], то говорят, что ряд сходится; число S называют суммой ряда и пишут [pic] или [pic].
Если [pic] не существует (в том числе бесконечен), ряд называется расходящимся.
Примеры. 1. Ряд1+1+1+…+1+…, очевидно, расходится, так как [pic].
2. Ряд 1-1+1-…+(-1)n-1+… тоже расходится, так как [pic] и вообще [pic] а такая последовательность предела не имеет.
Дальше мы рассмотрим два ряда, к которым в той или иной мере будет сводиться большинство рядов: геометрическую прогрессию и гармонический ряд.
3. Геометрической прогрессией называется ряд [pic]. (18.1.2)
Число qназывают знаменателем прогрессии. Сразу отметим, что при [pic] ряд расходится. При [pic] получаем ряд [pic] структуры, рассмотренной в примере 1, при [pic] - ряд [pic] структуры, рассмотренной в примере 2. Пусть теперь [pic]. Выведем формулу для частичных сумм. Пусть [pic], тогда [pic]. Легко убедиться, что [pic]. Решая это уравнение относительно [pic], получим [pic]. В этом выражении от n зависиттолько [pic], при этом [pic] Следовательно, конечный [pic] существует при [pic], и [pic]. Итак, геометрическая прогрессия сходится, если её знаменатель удовлетворяет условию [pic], и её сумма равна [pic].
4. Гармоническим рядом называется ряд
[pic]. (18.1.3)
Докажем, что этот ряд расходится. Рассмотрим частичные суммы с числом слагаемых, равных степеням числа 2: [pic].
Сумма членов в каждойскобке больше 1/2: [pic], [pic], [pic] и т.д. Таким образом, [pic]. Последовательность, у которой есть стремящаяся к бесконечности подпоследовательность, не может иметь конечного предела, поэтому гармонический ряд расходится.
В дальнейшем мы редко будем находить сумму ряда; в основном, будет ставиться вопрос о сходимости или расходимости ряда. Для вычисления суммы обычно применяются разложения вряд элементарных функций, которые мы будем изучать дальше, или искусственные приёмы, например, разложения функции [pic] на простые слагаемые:
5. [pic]. Если общий член ряда представить в виде суммы простых слагаемых [pic], то [pic]. Итак, этот ряд сходится, и его сумма равна 1.
18.1.2. Свойства сходящихся рядов.
18.1.2.1. Необходимый признак сходимости ряда. Общий член сходящегося ряда[pic] (18.2.1)
стремится к нулю при [pic]: [pic].

[pic] сходится [pic]. Обратное неверно. Пример – гармонический ряд.

Доказательство. Если [pic], то и [pic], но [pic] [pic], следовательно [pic].
С проверки выполнения условия [pic] надо начинать решение любой задачи на исследование сходимости ряда: если это условие не выполняется, то ряд заведомо расходится. Это...
tracking img