Электричество

Расчет конденсатора.

Дано:
Дан двухслойный конденсатор; цилиндрический, с радиусами r1, r2, r3. Наружная обкладка конденсатора заземлена, а к внутренней подведен положительный заряд q. Относительные диэлектрические проницаемости слоев ε1 и ε2. Длина по образующей – l.

r3
ε2
ε1
r2
q
2r1

r1=5 см=0,05 м
r2=12 см=0,12 м
r3=14 см=0,14 м
ε1=3
ε2=5
q=3 мкКл=3*10-6 Кл

ТРЕБУЕТСЯ:1. Построить графики изменения напряженности и потенциала электрического поля вдоль радиуса.
Задачу решить:
- пользуясь теоремой Гаусса,
- пользуясь уравнением Лапласа-Пуассона.
2. Вычислить емкость и запас энергии в электрическом поле конденсатора.

РЕШЕНИЕ:

1) Выполним расчет изменения напряженности и потенциала вдоль радиуса, используя теорему Гаусса:
EdS=qсвобεε0
Т.е. поток векторанапряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность равен суме свободных зарядов, находящихся внутри этой поверхности, разделенной на произведение εε0.
Известно, что линии напряжённости электрического поля всегда пересекают линии равного потенциала под прямым углом. Так как по условию задачи заряжена только внутренняя обкладка, в силу осевой симметрии конденсатора, нормали кэквипотенциальным линиям и нормали к обкладкам конденсатора будут совпадать. Таким образом, вектора Е и dS в рассматриваемом случае будут пересекать поверхность конденсатора под прямым углом, а угол между этими векторами будет равен "0". Если учесть, что числовое значения напряженности поля во всех точках поверхности, вдоль которой ведется интегрирование неизменно (в силу осевой симметрии конденсатора)выражение можно переписать:
EdS=qεε0
В рассматриваемом случае поверхность интегрирования – поверхность сферы:
dS=2πrl
и окончательно получаем:
E=q2πrlεε0
Так как в результате выполненных расчётов необходимо построить зависимость E = f(r), в пределах каждого слоя рассчитаем порядка 10 точек. Первая точка должна находиться на поверхности внутреннего электрода, последняя – на границе раздела двухдиэлектриков.
E=3*10-62*3,14*0,05*5.5*5*8,85*10-12=39256,8675Вм

Необходимо обратить внимание на то, что на границе раздела двух диэлектриков будет наблюдаться резкий скачёк напряжённости, поэтому значение напряжённости в этой области необходимо рассчитывать дважды: первый раз – задавшись значением ε1, второй раз - значением ε2.
Результаты расчетов сведем в таблицу 1:

Для расчета значения потенциалав диэлектрике заданного конденсатора воспользуемся соотношением:
E=-gradφ

Воспользуемся записью выражения градиента потенциала в сферической системе координат:
E=-∂φ∂r
φ=-E∂r=-q2πrlεε0=-q2πlεε0Ln(r)+C
Значение потенциала в пределах первого слоя диэлектрика, со значением ε= ε1, когда значение r лежит в пределах r1≤r≤r2, определим, пользуясь выражением:
φ=-q2πlεε0ln(r)+C1
а когда значениеr лежит в пределах r2≤r≤r3, определим, как:
φ==-q2πlεε0ln(r)+C2
Для определения постоянных интегрирования воспользуемся граничными условиями. По условию задачи внешняя обкладка конденсатора заземлена, следовательно, ее потенциал равен нулю. Выражение для определения потенциала внешней обкладки конденсатора можно записать как:
φ=-3*10-62*3,14*5.5*5*8,85*10-12ln(0.14)+C2=0
Отсюда находимпостоянную интегрирования С2:
C2=-3859,17159 В
Значение постоянной интегрирования С1 определим исходя из того, что потенциал на границе раздела двух диэлектриков будет одинаков. Таким образом, при значении r=r2 будет выполняться условие:
q2πlε1ε0ln(r2)+C1=q2πlε2ε0ln(r2)+C2
C1=q2πlε2ε0lnr2+C2-q2πlε1ε0ln(r2)

После подстановки числовых значений:C1=3*10-62*3,14*5.5*3*8,85*10-12ln0.12-3859,17159-3*10-62*3,14*5.5*5*8,85*10-12ln0.12=-6633,6684 В
Для построения зависимости φ=f(r) зададимся несколькими значениями "r".
Результаты расчетов сводим в таблицу 2:

2) Выполним расчет изменения напряженности и потенциала вдоль радиуса, используя уравнение Пуассона – Лапласа.
∇2φ=-ρεa
Так как для расчета задан цилиндрический конденсатор, наиболее целесообразно раскрыть ∇2φ в...