Элементарные функции комплексного переменного

  • 03 июня 2014 г.
  • 5367 Слова
КУРСОВАЯ РАБОТА
по алгебре и геометрии на тему
«Элементарные функции комплексного переменного»

Выполнил: ст. гр. ИВТ-11-12
Кузнецов Александр Андреевич

Проверил: доцент кафедры
высшей математики
Селиверстова Л.В.

Оглавление

Введение 3
Глава 1. Комплексные числа 4
1.1. Комплексная плоскость. 4
1.2. Операции над комплексными числами. Их свойства. 41.3. Квадратные уравнения. 10
Глава 2. Понятие функции комплексного переменного. 13
2.1. Понятие области и линии Жордана. 13
Глава 3. Непрерывные функции комплексного переменного 15
3.1. Теорема Кантора. 15
3.2. Равномерная сходимость функциональных рядов. 16
3.3. Степенные ряды. Теорема Абеля. 18
3.4. Формула Коши – Адамара. 19
Глава 4. Элементарные функции комплексногопеременного 20
4.1. Степенная функция. Случай целой степени. 20
4.2. Корень. 20
4.3. Показательная функция 21
4.4. Логарифмическая функция 22
4.5. Степенная функция произвольной степени 23
4.6. Тригонометрические функции 23
4.7. Обратные тригонометрические функции 25
4.8. Гиперболические функции 25
4.9. Функция Жуковского 26
Заключение 27
Список литературы 28

ВведениеИтальянский математик Джерсламс Кардано (1501-1576), решая задачу о представлении числа 10 в виде суммы двух слагаемых так, чтобы произведение этих слагаемых равнялось 40, встретился с ситуацией, что система не имеет действительных решений. Величины, квадрат которых равен отрицательному числу Кардано назвал «софически отрицательными», считал, что они лишены всякого реального содержания. Писал: «Дляосуществления таких действий нужна была бы новая арифметика, которая была бы настолько же утонченной, насколько бесполезной».
В элементарной математике изучаются действительные числа. С начала в процессе счёта возникает так называемый натуральный ряд чисел 1, 2,… n,… В арифметике вводятся действия сложения и умножения над натуральными числами. Что же касается операций вычитания и деления, то они ужеоказываются не всегда возможными во множестве натуральных чисел. Та же потребность измерения величин и проведения таких операций, как извлечения корня, решение алгебраических уравнений, приводит к дальнейшему расширению запаса рассматриваемых чисел: появляются иррациональные и, наконец, комплексные числа.
Комплексными числами и функциями комплексного переменного математики пользовались в своих исследованияхуже в XVIII в. Особенно велики заслуги крупнейшего математика XVIII в. Леонарда Эйлера (1707—1783), который по праву считается одним из творцов теории функций комплексного переменного. В своих замечательных работах Эйлер детально изучил элементарные функции комплексного переменного, включая логарифм, показательные, тригонометрические и обратные тригонометрические функции (1740—1749), дал условиядифференцируемости (1755) и начала интегрального исчисления функций комплексного переменного (1777).
После Эйлера открытые им результаты и методы развивались, совершенствовались и систематизировались, и в первой половине XIX в. теория функций комплексного переменного оформилась как важнейшая отрасль математического анализа. Основные заслуги в этом принадлежат Огюстену Коши (1789— 1857) и КарлуВейерштрассу (1815—1897), развившим интегральное исчисление и теорию представления функций рядами, а также Бернхарду Риману (1826—1866), обосновавшему геометрические вопросы теории функций и их приложения.
Постепенно, благодаря усилиям многих математиков, теория функций комплексного переменного сформировалась как полноценный раздел математики, приобрела привычный для нас облик и активно используетсяв математике и других науках.
*
Комплексные числа
Комплексными числами называются выражения вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – некоторый символ, для которых вводятся понятия равенства и операции сложения и умножения:
а) два комплексных числа a + ib и c + id равны тогда и только тогда, когда
a=c и b=d;
б) суммой чисел a + ib и c + id...
tracking img