А счисления. В ней используются так

  • 13 окт. 2013 г.
  • 10172 Слова
Тема 1. Математическое введение в цифровую технику.


1-1. Системы счисления, используемые в цифровой технике.
Для изображения чисел используются определенные приемы и правила, называемые системами счисления. Все известные системы счисления делятся на две группы: позиционные системы счисления и непозиционные системы счисления.
В непозиционной системе счисления значениесимвола (цифры, буквы, знака или иероглифа) постоянно и не зависит от позиции этого символа в изображаемом числе. В позиционных системах наоборот, значение символа зависит от позиции этого символа в изображаемом числе. Непозиционные системы, как более простые, появились исторически гораздо более раньше позиционных систем. Ими пользовались древние славяне, китайцы и другие народы. До наших дней дошла однаиз разновидностей непозиционных систем - римская система счисления. В ней используются так называемые римские цифры: I - 1, V - 5, X - 10, L - 50, C - 100, D - 500, M - 1000. Значение числа вычисляется суммированием всех чисел с учетом правила, что если цифра меньшего веса стоит слева от следующей за ней цифрой большего веса, то она имеет знак минус, а если справа - то знак плюс. Например, числоMCCXXXIV определяется следующим образом:


1000 + 100 + 100 + 10 + 10 + 10 - 1 + 5 = 1234


Непозиционные системы счисления обладают двумя существенными недостатками. Во-первых, при увеличении диапазона представляемых чисел увеличивается число различных символов в изображаемых числах. Во-вторых, очень сложны правила выполнения даже самых простых арифметических действий.
Позиционныесистемы счисления обладают тем чрезвычайно важным свойством, что все числа, и малые, и большие, могут быть записаны с помощью конечного набора различных символов. Кроме того, правила действия с числами могут быть резюмированы в виде таблиц сложения и умножения. Изобретение позиционных систем счисления имело неоценимые последствия для дальнейшего развития человеческой цивилизации. Впервые такиесистемы счисления стали использовать древние шумерийцы и индусы.
В позиционных системах счисления любое число X изображается в виде полинома


[pic]. (1.1)


B этом выражении aj называются разрядными коэффициентами, S - основанием системы счисления, а Sj – весовыми коэффициентами. Значение любого разрядного коэффициента в изображаемом числе может лежать в диапазоне от 0 до S-1. Внастоящее время во всех странах мира используется десятичная система счисления, представляющая собой позиционную систему счисления с основанием S=10. Разрядные коэффициенты при изображении чисел в десятичной системе счисления могут принимать значения в диапазоне от 0 до 9. Для краткости вместо записи числа в виде полинома записывают только последовательность разрядных коэффициентов этого полинома. Когда мыпишем десятичное число X10=163,28, то подразумеваем величину


[pic]

Нижний индекс в записи числа указывает на основание используемой системы счисления. В принципе, роль основания способно играть любое вещественное число. Переход от системы счисления с произвольным основанием к десятичной системе счисления осуществляется при помощи выражения 1.1, которое справедливо как для целой, так и длядробной частей числа. Возьмем, например, восьмеричное число 3678 и преобразуем его в десятичное. Вполне логично записать это число как


[pic].


Переход от десятичной системы счисления к системе счисления с произвольным основанием выполняется в соответствии со следующими правилами: целая часть десятичного числа делится на основание новой системы счисления, запись целой части нового числапроизводится с последнего результата деления (старший разряд целой части); дробная часть десятичного числа умножается на основание новой системы счисления, запись результата нового числа производится с первого результата умножения (старший разряд дробной части).
То же самое десятичное число 24710 можно записать в виде 111101112 двоичного числа. Действительно...
tracking img