1 задача замена оборудования

Задача

В начало планового периода продолжительностью в 10 лет имеется оборудование возраста 6. Известны стоимость r(t) (28, 27,27,26,25,25,24,23,23,22,21) продукции производимой в течение года с использованием этого оборудования, ежегодные расходы u(t) (16,16,17,17,17,18,18,19,20,20,21) связанные с эксплуатацией оборудования; его остаточная стоимость 0, стоимость 10 нового оборудования (сюдаже включены расходы, связанные с установкой, наладкой и запуском оборудования).
Требуется:
1) пользуясь функциональными уравнениями, составить матрицу максимальных прибылей за 10 лет,
2) сформировать по матрице максимальных прибылей оптимальные стратегии замены оборудования данных возрастов 6 и 5 лет в плановом периоде продолжительностью соответственно 10 и 8 лет

Решение

1) Сведем исходныеданные в таблицы а и б.

Таблица а
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
r(t)
28
27
27
26
25
25
24
23
23
22
21
u(t)
16
16
17
17
17
18
18
19
20
20
21

Таблица б
s
0
p
10

Математическая модель задачи:
Z = Σfi(xi)→max

сохранить
xi - управление

заменить

Экономический смысл переменных:
N- плановый период эксплуатации оборудования;
ZC - прибыль в случае сохранения оборудования;
ZЗ - прибыль в случае замены оборудования;
S0 - первоначальное состояние системы;
SHi - предполагаемый возраст оборудования в начале i-го периода, т.е. после того, как мы примем решение сохранить или заменить его;
Si - возраст в конце i-го периода;
r(t) - прибыль от эксплуатации;
u(t)- расходы на эксплуатацию;
s - остаточная стоимость оборудования;
p - стоимость нового оборудования;
t - возраст оборудования;
fi - доход на i-ом шаге;
Fi - максимальный доход на i-ом шаге.

Составим таблицу соответствия стоимости продукции и затрат от возраста

Возраст
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
r(t)
28
27
27
26
25
25
24
23
23
22
21
u(t)
16
16
17
17
17
18
18
19
20
20
21
r(t)-u(t)
12
1110
9
8
7
6
4
3
2
0

Прибыль, если в начале года выбрано управление «сохранение» оборудования:
Zc = r(t) - u(t)
Прибыль в случае «замены»:
ZЗ = s - p + r(0) - u(0)

Состояние системы (S) характеризуется возрастом оборудования
t = 0, 1, …. Значение t = 0 соответствует новому оборудованию.
В формулах максимальная прибыль на очередном шаге определяется с учетом всехвозможных состояний системы, в которых она может находиться сразу после принятия решения в начале данного года.
Основное функциональное уравнение на последнем N-ом шаге:
FN(SN-1, xN) = max ZN(SНN, xN)

При произвольном шаге (i Fi(Si-1, xi) = max {Zi(SHi, xi) + Fi+1(Si)}
Прибыль на i-ом шаге будет определяться следующей паройформул:
- при управлении «сохранение»
Zi(SHi, xi) = r(SНi) - u(SHi)
- при управлении «замена»
Zi(SHi, xi) = s - p + r(0) - u(0)

Для нашего примера расчет начинается с последнего, десятого года планового периода:
F10(S9, x10) = max Z10(SH10, x10)
при этом:
- в случае «сохранения» оборудования:
Z10(SH10, x10) = r(SH10) - u(SH10)
- в случае «замены»:
Z10(SH10, x10) = 0-10 + 28 -16 = 2.
Составляем 1-ую таблицу, рассматриваемая все возможные НАЧАЛЬНЫЕ состояния оборудования, т.е. его возраст S10 = 1 - 10 лет, начиная с конца - последнего шага.

Таблица 1. F10(S9, x10) = max Z10(SH10, x10)
Шаг 10
Возраст S9 в конце 9-го шага
Управлениеx10
Предполагаемый возраст SH10 в начале 10-го шага

Прибыль Z10
Max доход F10 на 10 шаге

1
Сохранение
1
11
11

Замена
0
2


2
Сохранение
2
10
10

Замена
0
2


3
Сохранение
3
9
9

Замена
0
2


4
Сохранение
4
8
8

Замена
0
2


5
Сохранение
5
7
7

Замена
0
2


6
Сохранение
6
6
6

Замена
0
2


7
Сохранение
7
4
4

Замена
0
2


8
Сохранение
8
3
3

Замена
0
2


9
Сохранение
9
2
2

Замена
0
2...