Билет №37, 3 (1)
интерполи́рование — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.
Интерполяцио́нныймногочле́н Лагра́нжа
Интерполяцио́нный многочле́н Лагра́нжа — многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для n + 1 пар чисел , где все xi различны, существует единственныймногочлен L(x) степени не более n, для которого L(xi) = yi.
В простейшем случае (n = 1) — это линейный многочлен, график которого — прямая, проходящая через две заданные точки.
Определение
[pic] Этотпример показывает интерполяционный многочлен Лагранжа для четырёх точек (-9,5), (-4,2), (-1,-2) и (7,9), а также полиномы yj lj(x), каждый из которых проходит через одну из выделенных точек, и принимаетнулевое значение в остальных xi
Лагранж предложил способ вычисления таких многочленов:
[pic]
где базисные полиномы определяются по формуле:
[pic]
lj(x) обладают следующими свойствами:являются многочленами степени n
lj(xj) = 1
lj(xi) = 0 при
Отсюда следует, что L(x), как линейная комбинация lj(x), может иметь степень не больше n, и L(xj) = yj, Q.E.D.
[править]
Применения
ПолиномыЛагранжа используются для интерполяции, а также для численного интегрирования.
Пусть для функции f(x) известны значения yj = f(xj) в некоторых точках. Тогда мы можем интерполировать эту функцию как[pic]
В частности,
[pic]
Значения интегралов от lj не зависят от f(x), и их можно вычислить заранее, зная последовательность xi.
[править]
Случай равномерного распределения узлов интерполяцииВ случае равномерного распределения узлов интерполяции xi выражаются через расстояние между узлами интерполяции h и начальную точку x0:
[pic],
и, следовательно,
[pic]
Подставив эти выраженияв формулу базисного полинома и вынеся h за знаки перемножения в числителе и знаменателе, получим
[pic]
Теперь можно ввести замену переменной
[pic]
и получить полином...
интерполи́рование — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.
Интерполяцио́нныймногочле́н Лагра́нжа
Интерполяцио́нный многочле́н Лагра́нжа — многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для n + 1 пар чисел , где все xi различны, существует единственныймногочлен L(x) степени не более n, для которого L(xi) = yi.
В простейшем случае (n = 1) — это линейный многочлен, график которого — прямая, проходящая через две заданные точки.
Определение
[pic] Этотпример показывает интерполяционный многочлен Лагранжа для четырёх точек (-9,5), (-4,2), (-1,-2) и (7,9), а также полиномы yj lj(x), каждый из которых проходит через одну из выделенных точек, и принимаетнулевое значение в остальных xi
Лагранж предложил способ вычисления таких многочленов:
[pic]
где базисные полиномы определяются по формуле:
[pic]
lj(x) обладают следующими свойствами:являются многочленами степени n
lj(xj) = 1
lj(xi) = 0 при
Отсюда следует, что L(x), как линейная комбинация lj(x), может иметь степень не больше n, и L(xj) = yj, Q.E.D.
[править]
Применения
ПолиномыЛагранжа используются для интерполяции, а также для численного интегрирования.
Пусть для функции f(x) известны значения yj = f(xj) в некоторых точках. Тогда мы можем интерполировать эту функцию как[pic]
В частности,
[pic]
Значения интегралов от lj не зависят от f(x), и их можно вычислить заранее, зная последовательность xi.
[править]
Случай равномерного распределения узлов интерполяцииВ случае равномерного распределения узлов интерполяции xi выражаются через расстояние между узлами интерполяции h и начальную точку x0:
[pic],
и, следовательно,
[pic]
Подставив эти выраженияв формулу базисного полинома и вынеся h за знаки перемножения в числителе и знаменателе, получим
[pic]
Теперь можно ввести замену переменной
[pic]
и получить полином...
Поделиться рефератом
Расскажи своим однокурсникам об этом материале и вообще о СкачатьРеферат