Гиперболические функции Фибоначчи и Люка:история и приложения
Oб авторе
Аннотация
Недавно в математику введен новый класс гиперболических функций. К этому открытию независимо друг от друга пришли украинские ученые Боднар О.Я., Стахов А.П., Ткаченко И.С. и Розин Б.Н. В статье обсуждается история возникновения нового класса гиперболических функций и их приложения в современной науке.
1.Классические гиперболические функции
Из средней школы мы хорошо знаем тригонометрические функции, а именно синус, косинус и производные от них тангенс, котангенс и другие. Мы также знаем, что существует ряд математических соотношений, связывающих тригонометрические функции. Все, кто изучал тригонометрию, помнят об одном из них, связывающим косинус и синус:
cos2x +sin2x = 1. | (1) |
Однако не все выпускникисредней школы знают, что кроме тригонометрических синусов и косинусов существуют еще так называемые гиперболические функции, а именно гиперболический синус, гиперболический косинус и другие. Тригонометрические и гиперболические функции вместе с некоторыми другими важными математическими функциями образуют очень важный класс так называемых элементарных функций, которые очень широко используются вматематике.
В отличие от тригонометрических функций, которые не имеют определения в аналитической форме, гиперболические функции могут быть представлены в следующем виде:
Гиперболический синус
| (2) |
Гиперболический косинус
| (3) |
где число е – одна из важнейших математических констант математики (основание натуральных логарифмов).
Существует ряд изящных математических выражений длягиперболических функций. Одно из них, связывающих гиперболический синус и косинус, имеет следующий вид:
ch2x - sh2x = 1. | (4) |
Гиперболические функции так же широко распространены в математике, как и тригонометрические функции. Наиболее известным примером их применения является неевклидова геометрия, созданная гениальным русским геометром Николаем Лобачевским в первой половине 19 в.Именно поэтому геометрию Лобачевского называется также гиперболической геометрией. В начале 20 в. известный немецкий математик Герман Минковский использовал гиперболические функции для весьма интересной геометрической интерпретации теории относительности Эйнштейна («четырехмерный мир Минковского»).
2. Гиперболические функции Фибоначчи и Люка
Одним из современных математических результатов в теориичисел Фибоначчи является открытие так называемых гиперболических функций Фибоначчи и Люка [1-4]. Расскажу об истории их открытия. В 1984 г. издательство «Радио и связь» (Москва) опубликовало мою книгу «Коды золотой пропорции» [5]. В этой книге знаменитые формулы Бине, выведенные в 19-м веке, были приведены в несколько необычном виде:
| (5) |
| (6) |
>
где (золотая пропорция), адискретная переменная k принимает значения из множества 0, ± 1, ± 2, ± 3, …
Заметим, что формулы Бине (5), (6) представляют собой удивительные математические формулы, которые связывают целые числа и иррациональные. Действительно, левые части выражений (5), (6) всегда представляют собой целые числа, числа Люка Ln и числа Фибоначчи Fn. C другой стороны, левые части выражений (5), (6) представляютсобой суммы и разности иррациональных чисел t 2k и t -2k. Особенно невероятными кажутся формулы Бине для чисел Фибоначчи, в которых числа Фибоначчи выражаются суммой или разностью типа t 2k ± t -2k , деленной на иррациональное число .
Одним из внимательных читателей моей книги [5] был кандидат физико-математических наук Иван Семенович Ткаченко, которого я пригласил для работы на кафедре прикладнойматематики и вычислительных систем Винницкого политехнического института, организованной в 1989 г. (позже И.С. Ткаченко защитил докторскую диссертацию в области экономики). Однажды он взволнованно сообщил мне, что в результате изучения формул Бине, приведенных в книге [5], он увидел их аналогию с гиперболическими функциями (2), (3) и что на этой основе может быть...
Oб авторе
Аннотация
Недавно в математику введен новый класс гиперболических функций. К этому открытию независимо друг от друга пришли украинские ученые Боднар О.Я., Стахов А.П., Ткаченко И.С. и Розин Б.Н. В статье обсуждается история возникновения нового класса гиперболических функций и их приложения в современной науке.
1.Классические гиперболические функции
Из средней школы мы хорошо знаем тригонометрические функции, а именно синус, косинус и производные от них тангенс, котангенс и другие. Мы также знаем, что существует ряд математических соотношений, связывающих тригонометрические функции. Все, кто изучал тригонометрию, помнят об одном из них, связывающим косинус и синус:
cos2x +sin2x = 1. | (1) |
Однако не все выпускникисредней школы знают, что кроме тригонометрических синусов и косинусов существуют еще так называемые гиперболические функции, а именно гиперболический синус, гиперболический косинус и другие. Тригонометрические и гиперболические функции вместе с некоторыми другими важными математическими функциями образуют очень важный класс так называемых элементарных функций, которые очень широко используются вматематике.
В отличие от тригонометрических функций, которые не имеют определения в аналитической форме, гиперболические функции могут быть представлены в следующем виде:
Гиперболический синус
| (2) |
Гиперболический косинус
| (3) |
где число е – одна из важнейших математических констант математики (основание натуральных логарифмов).
Существует ряд изящных математических выражений длягиперболических функций. Одно из них, связывающих гиперболический синус и косинус, имеет следующий вид:
ch2x - sh2x = 1. | (4) |
Гиперболические функции так же широко распространены в математике, как и тригонометрические функции. Наиболее известным примером их применения является неевклидова геометрия, созданная гениальным русским геометром Николаем Лобачевским в первой половине 19 в.Именно поэтому геометрию Лобачевского называется также гиперболической геометрией. В начале 20 в. известный немецкий математик Герман Минковский использовал гиперболические функции для весьма интересной геометрической интерпретации теории относительности Эйнштейна («четырехмерный мир Минковского»).
2. Гиперболические функции Фибоначчи и Люка
Одним из современных математических результатов в теориичисел Фибоначчи является открытие так называемых гиперболических функций Фибоначчи и Люка [1-4]. Расскажу об истории их открытия. В 1984 г. издательство «Радио и связь» (Москва) опубликовало мою книгу «Коды золотой пропорции» [5]. В этой книге знаменитые формулы Бине, выведенные в 19-м веке, были приведены в несколько необычном виде:
| (5) |
| (6) |
>
где (золотая пропорция), адискретная переменная k принимает значения из множества 0, ± 1, ± 2, ± 3, …
Заметим, что формулы Бине (5), (6) представляют собой удивительные математические формулы, которые связывают целые числа и иррациональные. Действительно, левые части выражений (5), (6) всегда представляют собой целые числа, числа Люка Ln и числа Фибоначчи Fn. C другой стороны, левые части выражений (5), (6) представляютсобой суммы и разности иррациональных чисел t 2k и t -2k. Особенно невероятными кажутся формулы Бине для чисел Фибоначчи, в которых числа Фибоначчи выражаются суммой или разностью типа t 2k ± t -2k , деленной на иррациональное число .
Одним из внимательных читателей моей книги [5] был кандидат физико-математических наук Иван Семенович Ткаченко, которого я пригласил для работы на кафедре прикладнойматематики и вычислительных систем Винницкого политехнического института, организованной в 1989 г. (позже И.С. Ткаченко защитил докторскую диссертацию в области экономики). Однажды он взволнованно сообщил мне, что в результате изучения формул Бине, приведенных в книге [5], он увидел их аналогию с гиперболическими функциями (2), (3) и что на этой основе может быть...
Поделиться рефератом
Расскажи своим однокурсникам об этом материале и вообще о СкачатьРеферат