Ghgh

  • 29 марта 2014 г.
  • 5319 Слова
1.1. Аппроксимация экспериментальных данных

Аппроксимацией называется подбор аналитической формулы y =f(x) для установленной из опыта функциональной зависимости y =φ(х).
Аппроксимируемая функция у может зависеть от одной или от нескольких переменных. Рассмотрим оба случая.
Одна независимая переменная
Пусть имеются данные, полученные в ходе эксперимента илинаблюдений, которые можно представить в виде таблицы значений (х, у):

|X |x1 |x2 |… |xn |
|У |y1 |y2 |… |yп |


На основе этих данных требуется подобрать такую функцию у=f(x), которая с точки зрения некоторого критерия оптимальности наилучшим образом описывалабы экспериментальную зависимость.
Обычно задача аппроксимации распадается на две части. Сначала устанавливают вид зависимости у = f(x) и, соответственно, вид эмпирической формулы. После этого определяются численные значения неизвестных параметров выбранной эмпирической формулы, для которых приближение к заданной функций оказывается наилучшим.
Для сглаживания экспериментальных зависимостейy =φ(х), заданных таблично, в MS Excel используются различные функции у =f(x):
– линейная;
– полиномиальная;
– логарифмическая;
– степенная;
– экспоненциальная.
Параметры аппроксимирующей функции подбираются гак, чтобы выполнялось условие минимума среднеквадратичных отклонений (критерий оптимальности):
[pic], (1.1)
где yi =φ(хi) -экспериментальные точки (i = 1,…,n).
Степень точности аппроксимации экспериментальных данных в MS Excel оценивается коэффициентом детерминации R2. Чем ближе этот коэффициент к значению 1, тем точнее приближение. Рассмотрим процедуру аппроксимации:

►Пример 1
Построить и исследовать динамику роста производства продукции, используя данные:
|Год |Производство |
|1997|17,1 |
|1998 |18,0 |
|1999 |18,9 |
|2000 |19,7 |
|2001 |19,8 |
|2002 |19,9 |


Решение:
1.На основе имеющейся таблицы построить Точечную диаграмму. Установить курсор на одну из точек полученного графика и из контекстного меню выбрать команду: Добавить линию тренда.
2. На вкладке Тип указать Логарифмическая.
3. На вкладке Параметры выставить флажки для уравнения и достоверности аппроксимации.
В итоге получить аппроксимацию экспериментальных данных.
Для того, чтобы убедитьсяв правильности выбора типа аппроксимирующей функции, следует выбрать несколько разных функций для аппроксимации (трендов) и сравнить значения величин достоверности для каждого варианта тренда. Наилучшей считается функция с коэффициентом детерминации R2, близким к 1.
Правая кнопка на линии тренда дает возможность редактировать его, подбирая другие функции для аппроксимации. Наилучшей в данномпримере является полиномиальная функция, которая дает показатель достоверности R2 =0,9917, тогда как для логарифмической функции этот показатель равен 0,867.



►Пример 2
Датчики расположены на расстоянии 20, 50 и 100 м от источника радиоактивного излучения. Измерения интенсивности излучения проводились через 1, 5, и 10 суток после установки источника и заносились в таблицу:
|х1/х2|1 |5 |10 |
|20 |61,2 |43,6 |28,3 |
|50 |33,6 |24 |15,6 |
|100 |12,3 |8,8 |5,7 |


Найти зависимость интенсивности излучения от расстояния и...
tracking img